GDP与经济发展及人口变化关系模型

1GDP与经济发展及人口变化关系模型摘要本文讨论了国内生产总值与经济发展及人口变化的关系问题.针对问题一：国内生产总值是衡量经济发展的重要指标，而固定资产投资和进出口贸易的快速发展推动了我国经济的增长，因此有必要站在宏观的角度对我国国内生产总值与固定资产投资及进出口总额的关系进行分析.通过查找数据建立三者之间的基本回归模型，利用matlab进行求解，结果见文中表1.考虑到固定资产投资与进出口总额之间可能存在交互作用，将模型进行改进求解结果见文中表2.对两个模型进行结果的检验和预测，通过分析对比两者的数据得出改进的模型拟合度更高，更符合实际.针对问题二：当经济中总产出、收入和就业连续6个月到一年有明显下降，经济出现普遍收缩时，标志着经济衰退，因此分别建立国内生产总值与财政收入及失业率之间的回归模型.通过模型预测2012年财政收入为103.7925千亿元，同比增长0.0506%，失业率为4.1026%，同比增长0.0634%.由于0.0506%与0.0634%都是相当小的数字，财政收入和失业率的增幅均是非常微小的，因此在一定程度上不能说明经济有衰退的迹象，只能说明经济涨幅不大.针对问题三：国内生产总值增长率、通货膨胀率和失业率是判断宏观经济运行状况的三个主要指标.通货膨胀率一般是用国内生产总值缩减指数来衡量的，通过奥肯定律可以得出国内生产总值与失业率的关系，进而得出国内生产总值是通过影响通货膨胀率及失业率对经济形势起决定性影响.针对问题四：建立关于人口数量与国内生产总值的自回归分布滞后模型，对其求解结果见文中表7，可以看出人口数量不仅与国内生产总值有关系，而且与其自身前一年的人口数量也存在着紧密的联系.问题一各项经济指标均会随时间的变化而变化，将问题一进行推广建立关于国内生产总值与固定资产投资及进出口总额的混合有限多项式分布滞后模型.此外统计回归模型是用途最广泛的一类随机模型.该模型不仅适用于对各个经济指标间关系的讨论,也可用于产品销售量的预测、教学评估、人口预测.关键词奥肯定律；统计回归模型；经济衰退；自回归分布滞后模型一、问题重述一个国家的国内生产总值往往反映该国的经济发展状况，中国亦无例外.改革开放以来，中国经济持续保持高速发展，特别是近20年更是基本保持10%以2上的增长速度.据统计局数据，1979-2010年中国经济的平均增速是9.9%；1991-2010年平均增速是10.5%；2001-2010年平均增速也是10.5%.经过30多年的高速增长，中国经济已变得体量巨大、基数巨大.在2012年之前，我国国内生产总值逐步呈上升趋势，而在2012年的国内生产总值有所放缓，这与我国的经济政策发生变化相关联.请查找资料，利用数学建模给出如下四个问题的探讨：(1)通过一个或两个方面探讨2012年以前中国国内生产总值与其经济变化的关系.(2)中国2012年国内生产总值放缓能否证明经济形势有衰退的迹象.(3)如何评价中国国内生产总值对经济形势的影响.(4)中国人口变化与国内生产总值有无关系.二、问题分析国内生产总值是衡量经济发展的重要指标，它与我国经济及人口的变化均有着一定的联系，根据考虑问题的侧重点不同，以下从四个方面作详细讨论.针对问题一：固定资产投资和进出口贸易的发展，对我国经济的增长起到了推动的作用.但它们对经济增长的拉动作用是否显著，国内生产总值与固定资产投资和进出口总额三者之间存在什么样的关系，是需要进一步统计和检验的.通过查找1992-2011年20年的国内生产总值、进出口贸易额和固定资产投资额(全文数据均来自《中国统计年鉴》)的处理，建立统计回归模型，进而可以分析得出国内生产总值与固定资产投资额和进出口贸易额之间的关系.针对问题二：当经济中总产出、收入和就业连续6个月到一年的明显下降，经济出现普遍收缩时，标志着经济衰退.因此对1992-2011年20年的国内生产总值与财政收入及其与就业率的数据进行分析，分别建立关于国内生产总值与财政收入和国内生产总值与就业率的回归模型，通过预测2012年国内生产总值、财政收入和就业率来判断当国内生产总值放缓时经济是否有衰退的迹象.针对问题三：国内生产总值增长率、通货膨胀率和失业率是判断宏观经济运行状况的三个主要指标.通货膨胀率一般是用国内生产总值缩减指数来衡量的，由此国内生产总值缩减指数可以直接由国内生产总值计算得出.因此可以通过奥肯定律找出失业率与其增长率的函数关系,以此来判断出中国国内生产总值对经济形势的影响.针对问题四：人口总量与国内生产总值是随时间变化而发生改变的.当年的人口总量与最近三年的人口总量和国内生产总值都有关系，因此建立关于从1992年到2011年20年人口总量与国内生产总值的自回归分布滞后模型分析得人口变化与国内生产总值的关系.三、基本假设1.数据以年为基准，不考虑一年内的波动和变化；2.数据均为按当年价格计算的名义值；3.所有数据均真实可靠.四、符号表示与名词解释34.1符号表示符号含义单位G国内生产总值千亿元E进出口总额千亿元I固定资产投资额千亿元F财政收入千亿元U失业率--P人口总量万人4.2名词解释固定资产投资：是以货币形式表现的在一定时期内全社会建造和购置固定资产的工作量以及与此有关的费用的总称.财政收入：指国家财政参与社会产品分配所取得的收入，是实现国家职能的财力保证.进出口总额:指实际进出我国国境的货物总金额.五、模型建立与求解国内生产总值的增长对经济发展起着越来越重要的作用，因此必须正确认识国内生产总值增长与经济发展之间的关系.在我国，人口问题也不容忽视，它制约着中国经济和社会的发展.下面通过对各问题的分析，建立相应的模型，并求解．文中所有数据见附表一.5.1国内生产总值与进出口贸易总额和固定资产投资的回归模型基本回归模型设第t年的国内生产总值为tG，固定资产投资为tI，进出口总额为tE，t=1,…,n(n=20).因变量tG与自变量tI和tE的散点图见图1和图2.图1tG对tI的散点图图2tG对tE的散点图由图1可以看出，随着固定资产投资额的增加，国内生产总值向上弯曲增长的趋势渐缓，图中曲线是用二次函数模型2012=+++tttGII(1)拟合的(其中是随机误差).而图2中，当进出口总额增大时，国内生产总值向上弯曲增长的趋势加强，图中曲线仍是用二次函数模型5010015020025030050100150200250300350400450204060801001201401601802002205010015020025030035040045042012=+++tttGEE(2)拟合的.综合上面的分析，结合(1)和(2)建立如下的回归模型2201234=+++++tttttGIEIE(3)根据附表一的数据，对(3)利用matlab统计工具箱求解(见附录程序一)，得到回归系数的参数估计及其置信区间(置信水平=0.05)、检验统计量2R，F和p的结果见表1表1：(3)的计算结果参数参数估计值置信区间027.7677[14.659940.8756]10.9937[0.07371.9138]20.7844[-0.21191.7806]3-0.00004[-0.00240.0023]4-0.0010[-0.00450.0025]2=0.9941R=628.0046F=0.0000p2=0.9941R表明tG的99.41%可由(3)确定，F值远远超过其检验的临界值，p远小于，因而模型(3)从整体上看是可用的.将回归系数的估计值代入(3),得到基本回归模型22=27.7677+0.9937+0.7844-0.00004-0.001tttttGIEIE(4)模型改进从表面上看基本模型(4)的拟合度已经很高2=0.9941R，但模型(4)中回归变量tI和tE对因变量tG的影响是相互独立的.实际中由于tI和tE均与tG存在很大的依赖关系，因此tI与tE之间应存在着交互作用会对tG产生影响.不妨简单地用tI与tE的乘积代表它们的交互作用，于是将(3)增加一项，得到22012345=++++++tttttttGIEIEIE(5)对(5)求解(见附录程序二)得到回归系数的参数估计及其置信区间(置信水平=0.05)、检验统计量2R，F和p的结果见表2表2：(5)的计算结果参数参数估计值置信区间017.6708[4.131531.2101]10.9993[0.22671.7719]21.2295[0.32362.1354]3-0.0138[-0.0248-0.0029]4-0.0204[-0.0359-0.0050]50.0316[0.00690.0563]2=0.9961R=723.0452F=0.0000p表2与表1的结果相比，2=0.9961R有所提高，说明(5)比(3)有所改进.并且，所有参数的置信区间，特别是tI与tE交互项系数5的置信区间不包含零点，这就说明tI与tE之间存在着交互作用并对tG产生影响.F值也远远超过其检验的临界值，p也远小于，所以(5)比(3)更符合实际.5将回归系数的估计值代入(5),得到改进的回归模型22=17.6708+0.9993+1.2295-0.0138-0.0204+0.0316tttttttGIEIEIE(6)结果分析及预测从机理上看，对于经济规律作用下的时间序列数据，加入交互项的模型(6)更为合理.将模型(4)和模型(6)的计算值tG与实际数据tG的比较以及两个模型的残差te(=-ttteGG)表示在表3、图3和图4上.可以看出模型(6)更合适些.表3：模型(4)和模型(6)的计算值tG与残差tettG(实际数据)tG(模型(4))tG(模型(6)te(模型(4))te(模型(6)235.333948.230543.0398-12.8966-7.7059348.197960.263858.2552-12.0659-10.0573460.793765.525964.6390-4.7322-3.8453571.176668.864068.58812.31262.5885678.973072.952673.58466.02045.3884784.402376.302677.32828.09977.0741889.677179.955581.93329.72167.7439999.214689,698293.28599.51645.928710109.655296.0007100.916913.65458.738311120.3327108.5792114.970911.75355.361812135.8228133.1801139.66512.6427-3.842313159.8783163.4156163.5870-3.5373-3.708714184.9374193.7095190.4952-8.7721-5.557815216.3144227.2953218.5398-10.9809-2.225416265.8103266.5165255.9060-0.70629.904317314.0454307.0712321.62616.9728-7.582118340.9028344.4073337.4216-3.50453.481219401.2020418.5824418.9131-17.3804-17.711020471.5640461.0002460.349710.563810.2143图3模型(4),(6)的tG与tG图4模型(4),(6)的te(注：图3和图4中蓝色表示实际数据，绿色表示模型(4)计算出的数据，红色表示模型(6)计算出的数据)5.2国内生产总值放缓与经济衰退关系模型分析国内生产总值与财政收入的关系模型设第t年财政收入为tF，画出因变量0246810121416182005010015020025030035040045050002468101214161820-20-15-10-50510156tF与自变量tG的散点