华南农业大学2014年4月数值分析试卷(大三)

1装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2013-2014学年第2学期考试科目：数值分析考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六总分得分评阅人一、填空题（本大题共6小题，每空4分，共40分）1、为使求积公式1121211()[(1)()()]()3fxdxffxfxxx的代数精度尽量高，1x，2x，此求积公式具有的代数精度为.2、有效数3.142作为的近似值，其相对误差限为.3、计算定积分10(0,1,2,,8,9)nxnIxedxn的近似值时，具有稳定性的递推算法为.4、使用牛顿迭代法计算1789的迭代公式为.5、计算一元非线性方程tan0xxe在(0,)2上的根时，收敛的简单迭代公式为，若取00,x迭代一次得到1x.6、设有矩阵1102A，则1()condA，这说明以A为系数矩阵的线性方程组是（性态）的。二、用列主元的三角分解法解方程组123123123223347712457xxxxxxxxx（本题共12分）得分得分2三、已知线性方程组123122111122213xxx（1）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。（本题共12分）得分3装订线四、已知函数()fx如下数据：x0123y0164688（1）分别用差商表和差分表求三次牛顿插值多项式3()Px；（2）根据3()Px估计(2.3)f的值。（本题共12分）五、已知数据表x12345y0.330.250.210.170.14有形如1()Pxabx的拟合函数，试求本问题的最小二乘拟合函数。（计算过程中的商运算需要做舍入时保留2位小数，其它情况用精确值）（本题共12分）得分得分4六、牛顿-柯特斯公式是用于计算定积分()baIfxdx的一类常用的数值积分公式，请推导n=1的牛顿-柯特斯公式及其截断误差。（本题共12分）。2014年华南农业大学《数值分析》期末考试试卷参考答案及评分标准（A卷）一、填空题（本大题共6小题，每空4分，共40分）1.0,1,3；2.441.6101.710或；3.-11(9,8,,,1,0)nneIInnn；4.111789(0,1,2,)2nnnxxnx5.1arctan(0,1,2,)nxnxen，4；得分5装订线6.3，良态。二、用列主元的三角分解法解方程组123123123223347712457xxxxxxxxx（本题共12分）解：对增广矩阵进行变换，有12123223324771(|)477142233245722457rrsAbss……2分2323477147711312334572221151457233222rrss第1步……4分477111517132222113325第2步……6分47711151713222211662555第3步……8分等价的三角方程组为12323347717.58.56.51.21.2xxxxxx……10分解得得分6321122xxx……12分三、已知线性方程组123122111122213xxx（3）分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（4）试分析以上两种迭代方法的敛散性。（本题共12分）解：（1）Jabobi迭代格式(1)()()123(1)()()213(1)()()3122212223kkkkkkkkkxxxxxxxxx……2分Gauss-Seidel迭代格式(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3122212223kkkkkkkkkxxxxxxxxx……4分(2)Jabobi迭代矩阵J的特征方程32211022……6分解得0,所以()01,JJacobi迭代法收敛。……8分G-S迭代矩阵G的特征方程得分7装订线2221(44)022……10分解得1230,2,2,所以()21,GG-S迭代法发散。……12分四、已知函数()fx如下数据：x0123y0164688（3）分别用差商表和差分表求三次牛顿插值多项式3()Px；（4）根据3()Px估计(2.3)f的值。（本题共12分）解：（1）方法一：建立差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商0011616246307388426-1/3……3分三次牛顿插值多项式为31()167(1)(1)(2)3Pxxxxxxx……5分方法二：建立差分表xy一阶差分二阶差分三阶差分0011616得分824630143884212-2……8分三次牛顿插值多项式为3231614-2()0(1)(1)(2)1!2!13!11167(1)(1)(2)3Pxxxxxxxxxxxxx……10分（2）1(2.3)162.372.3(2.31)2.3(2.31)(2.32)57.4313f……12分五、已知数据表x12345y0.330.250.210.170.14有形如1()Pxabx的拟合函数，试求本问题的最小二乘拟合函数。（计算过程中的商运算需要做舍入时保留2位小数，其它情况用精确值）（本题共12分）解：1,.YYabxy令则得到线性模型……2分x12345Y3.034.04.765.887.14……4分21iiiiiixYaxxYxb求解……6分即51524.81155584.53ab……8分解得1.93,1.01.ab……10分于是得分9装订线1()1.931.01Pxx……12分六、牛顿-柯特斯公式是用于计算定积分()baIfxdx的一类常用的数值积分公式，请推导n=1的牛顿-柯特斯公式及其截断误差。（本题共12分）。解：令01,,xaxb……2分建立f(x)的一次插值多项式0110101101()()()()()()xxxxLxyyxbfaxafbxxxxba……4分余项为1()()()()[,]2!frxxaxbab……6分则有1133()()()1()()()()()()()()2!()()()()()22!6()()()()()212bbaabbaaIfxdxLxrxdxfxbfaxafbdxxaxbdxbabafbafafbbaffafbba……12分得分10