一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用

杭州新普发进修学校2012春季周六下午数学讲义（2012.3.3）1第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2－4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=－P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1+x2)x+x1x2=0．二、热身练习1．已知a、b、c为△ABC的三边,且关于x的一元二次方程(c－b)x2+2(b－a)x+(a－b)=0有两个相等的实根,则这个三角形是（）A.等边三角形B.直角三角形C等腰三角形D.不等边三角形2．关于x的一元二次方程2(21)(1)10axax的两个根相等，那么a等于（）Ａ．1或5Ｂ．1或5Ｃ．1或5Ｄ．1或53．已知方程032mxx的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是。4．方程x2－2x－1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1－1）（x2－1）=_________。5．已知α、β是一元二次方程x2－4x－3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）=．6．已知一元二次方程231310xx的两根为1x、2x,则1211xx________.7．已知一个直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，判断关于x的方程0)1(2)1(22xbcxxa的根的情况。杭州新普发进修学校2012春季周六下午数学讲义（2012.3.3）28．已知12,xx是方程2420xx的两根，求：（1）1211xx的值；（2）212()xx的值.（3）)1)(1(21xx的值。三、例题分析【例1】在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中5a，若关于x的方程2260xbxb有两个相等的实数根，求△ABC的周长．【例2】1x、2x是方程05322xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221xx（2）21xx★（3）2222133xxx【例3】已知关于x的方程05)2(222mxmx有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。杭州新普发进修学校2012春季周六下午数学讲义（2012.3.3）3【例4】已知1x、2x是关于x的一元二次方程0)1(4422mxmx的两个非零实数根，问：1x与2x能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。四、思维提升1．已知方程0452mxx的两实根差的平方为144，则m＝。2．已知1x、2x是方程0132xx的两根，则11124221xx的值为。3．设1x，2x是一元二次方程2320xx的两个实数根，则2211223xxxx的值为______________．4．关于x的方程kx2+(k+2)x+4k＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.5．已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当m取何值时，y可取得最小值，并求出最小值．★★6．关于x的一元二次方程22(23)0xkxk有两个不相等的实数根、．（1）求k的取值范围；（2）若6，求2()35的值．杭州新普发进修学校2012春季周六下午数学讲义（2012.3.3）4ABQCPD五、拓展训练1.若1x，2x是方程2240xx的两个不相等的实数根，求代数式22112223xxx的值是多少？2．若t是一元二次方程20(0)axbxca的根,则判别式24bac和完全平式2(2)Matb的关系选做题★★3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？