二阶常微分方程的降阶解法

郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111062班级题目二阶常微分方程的降阶解法姓名贾静静学号111106213指导教师程春蕊职称讲师2015年4月5号二阶常微分方程的降阶解法摘要常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。关键词二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式OrderreductionmethodofsecondorderordinarydifferentialequationsJingjingJiaChunruiCheng111106213AbstractOrdinarydifferentialequationisaveryimportanttopicinthefieldofmathematics,ithasbeenwidelyusedinsolvingtheproblemandanalyzingmodelinpractice.Ordinarydifferentialequationsinthetheoryofdifferentialoccupiedfirstplace,ithasbeenwidelyusedinengineeringapplicationandscientificresearchaswellasphysics,manyapplicationexamplesareattributedtosecondorderlinearordinarydifferentialequationsolvingproblem.Andundernormalcircumstances,ordinarycoefficientdifferentialequationonthebasisofthelinearoftendailytheoryofdifferentialequationsiscanbesolved.Butforthesolutionforvariablecoefficientsecondorderlinearordinarydifferentialequationshaveacertaindegreeofdifficulty,sofarwehaven'tawell-establishedgeneralmethod.Thispapermainlyintroducesthemethodofreductionofordertwoorderlineardifferentialequationwithconstantcoefficients.Ontheproblemofsolvingthelineardifferentialequationwithtwoorderconstantcoefficients,first,wegivehomogeneousordinarycoefficientlineardifferentialequationofthecharacteristicequationandsolvethetwocharacteristicrootsofcharacteristicequation;secondly,weshouldusetheintegralfactortimesdifferentialequationandderivativeoperationandturntwoorderconstantcoefficientlineardifferentialequationintothefirstorderdifferentialequation.Finally,Wefirstorderdifferentialandintegralformonbothsides,solvethefirstorderlineardifferentialequationsandfindoutaspecialsolutionorgeneralsolutionofthesecondorderlinearconstantcoefficientdifferentialequation.Wesolvetheproblemofsecondorderhomogeneouslineardifferentialequationwithvariablecoefficients,andshouldbeturnedintotheappropriateequation,throughtheorderreductionmethodtosolvethesecondorderhomogeneousgeneralsolutionofdifferentialequationwithvariablecoefficients.Solvingnon-homogeneouslineardifferentialequation,weneedtocalculateitbyapplyingthemethodofconstantvariationofaparticularsolution,problemissolvedaccordingly.Keywordssecondorderordinarydifferentialequation；Orderreductionmethod;Characteristicroot;Constantvariationmethod;Afirstorderdifferentialform.目录第一章预备知识...........................................2第二章二阶常系数线性微分方程的降阶法.....................52.1提出问题........................................52.2二阶非齐次常系数线性微分方程的降阶法............62.3举例............................................62.4小结............................................8第三章二阶变系数线性常微分方程的降阶法...................93.1提出问题.......................................103.2二阶齐次变系数线性常微分方程的降阶法...........103.2.1求满足条件1的恰当方程的通解.............103.2.2求满足条件2的恰当方程的通解..............123.3小结...........................................14第四章可降阶的二阶常微分方程............................154.1xfxdyd22型的微分方程..........................154.2dxdyxfxdyd,22型的微分方程.......................154.3dxdyyfxdyd,22型的微分方程.......................16第五章可降阶的高阶常微分方程............................185.1xfyn型的方程............................185.2nkyyyxFnkk10,...,,1型的方程............185.30,...,,',nyyyyF的方程.......................195.40,...,',,,...,',,1nnyyyxdxdyyyxF型的方程......20总结................................................21致谢................................................22参考文献............................................23·6·二阶常微分方程的降阶解法班级学号1111062贾静静指导教师程春蕊职称讲师第一章预备知识1.只有自变量、未知函数及函数的导数（或微分）构成的关系式，就是微分方程。通过求解微分方程求出未知函数。当在微分方程中只有一个自变量时，我们便称为常微分方程。2.考虑一阶线性微分方程')()ypxyQx（1.1）其中xqxp,在考虑的区间上是x的连续函数。如果()0Qx则式(1.1)变为'()ypxy（1.2）式（1.2）称为一阶齐次线性微分方程。如果()Qx则称式(1.1)为一阶非齐次线性微分方程。式（1.2）是变量分离方程，我们可以求得它的通解为dxxpcey（1.3）这里c是任意常数。下面探讨非齐次线性方程（1.1）通解的求法。不难看出,(1.2)是(1.1)的特殊情形,可以想像一下：在（1.3)中，将常数c变易为x的待定函数xc。令dxxpexcy（1.4）微分，得dxxpexPxcexcydxxp''（1.5）将（1.4），（1.5）代入（1.1），得到xQexcxPexPxcexcydxxpdxxpdxxp''·7·即dxexQxcdxxp'积分后得到1cdxexQxcdxxp.这里1c是任意常数。将上式代入(1.4)得到方程(2.1)的通解1cdxexQeydxxpdxxp这种将常数变易为待定函数的方式，我们通常称为常数变易法。3.分离变量法一阶微分方程的显式形式是yxfy,'和0,,dyyxNdxyxM(1.6)分离变量法主要是用于解显式形式中变量可分离的方程yxfy'和02211dyygxfdxygxf(1)方程yxfy'(1.7)用ydx乘以等式两端，得到dxxfydy,这样变量x与y分离了。再将两端取不定积分，得Cdxxfydy,其中C是任意常数。这个式子已经不含导数dydx或微分,dxdy了，它具有形式称为方程(1.7)的通积分。如果还能从中解出Cxy,,则称为方程(1.7)的通解。注意：若存在某个0y使00y时，从式(1.7)可知，0yy也是方程的解，它在乘因子1y时被丢失了，应补入通解或通积分表达式中。(2)方程02211dyygxfdxygxf（1.8）同方程(1.7)一样，两边同乘以xfyg211分离变量，再取不定积分，得到通积分Cdyygygdxxfxf1221,还要注意可能丢失的解。·8·4.变量代换法有些方程，通常可以通过引入适当的变量代换，化为变量已分离