高中数学-第二章-2.5等比数列的前n项和(二)导学案新人教A版必修5

§2.5等比数列的前n项和(二)课时目标1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q；当q＝1时，Sn＝na1.2．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S偶S奇＝q.3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．一、选择题1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于()A．33B．72C．84D．189答案C解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()A．1.14aB．1.15aC．10a(1.15－1)D．11a(1.15－1)答案D解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158答案C解析若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S3＝S6得9×a1－q31－q＝a1－q61－q，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，1an＝(12)n－1.所以数列{1an}是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S5＝1×[1－125]1－12＝3116.4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米B．299米C．199米D．166米答案A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×128＝2993964≈300(米)．5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A．90B．70C．40D．30答案C解析q≠1(否则S30＝3S10)，由S30＝13S10S10＋S30＝140，∴S10＝10S30＝130，∴a1－q101－q＝10a1－q301－q＝130，∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，∴S20＝a1－q201－q＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.a＋γ＋γ5－1万元B.aγ＋γ5＋γ5－1万元C.aγ＋γ5＋γ4－1万元D.aγ1＋γ5万元答案B解析设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x＝aγ＋γ5＋γ5－1.二、填空题7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．答案13解析由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝a3a2＝13.8．在等比数列{an}中，已知S4＝48，S8＝60，则S12＝________________________________________________________________________.答案63解析方法一∵S8≠2S4，∴q≠1，由已知得a1－q41－q＝48①a1－q81－q＝60②由②÷①得1＋q4＝54，∴q4＝14③将③代入①得a11－q＝64，∴S12＝a1－q121－q＝64(1－143)＝63.方法二因为{an}为等比数列，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以S3n＝S2n－Sn2Sn＋S2n，所以S12＝S8－S42S4＋S8＝－248＋60＝63.9．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了2个伙伴；第2天，3只蜜蜂飞出去，各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案729解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a1＝3，q＝3，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a6＝36＝729(只)．10．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．答案(1＋q)12－1解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂第一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，∴该厂生产总值的平均增长率为S2－S1S1＝S2S1－1＝(1＋q)12－1.三、解答题11．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1(n≥1)．(2)10年的出口总量S10＝a－0.9101－0.9＝10a(1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．12．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？(lg657＝2.82，lg2＝0.30，lg3＝0.48)解(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，则在2015年应该投入的电力型公交车为a7＝a1·q6＝128×1.56＝1458(辆)．(2)记Sn＝a1＋a2＋…＋an，依据题意，得Sn10000＋Sn13，于是Sn＝－1.5n1－1.55000(辆)，即1.5n65732.两边取常用对数，则n·lg1.5lg65732，即nlg657－5lg2lg3－lg2≈7.3，又n∈N＋，因此n≥8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.能力提升13．有纯酒精aL(a1)，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.答案1－1a82－1a解析用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为a－1a＝1－1a，a2＝1－1a，加水后浓度为1－1aa－1a＝1－1a2，a3＝1－1a2，依次类推：a9＝1－1a8，a10＝1－1a9.∴1－1a8＋1－1a9＝1－1a82－1a.14．现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按本息10%的复利计算，试比较两种方案谁获利更多？(精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)解甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为1＋30%的等比数列，其和为1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝1.310－11.3－1≈42.63(万元)，到期时银行贷款的本息为10(1＋0.1)10≈10×2.594＝25.94(万元)，∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为42．63－25.94≈16.7(万元)．乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＋2＝32.50(万元)，而贷款本利和为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)．∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为32．50－17.53≈15.0(万元)，比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利．1．准确理解等比数列的性质，熟悉它们的推导过程是记忆的关键．用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．