第07讲、闭区间上的连续函数

大学数学先修课微积分第07讲闭区间上的连续函数关于本讲所出现的“定理”直观上比较容易接受，但证明“并非轻而易举并且超出了教学大纲”，因此略去其证明；提供部分证明思路；重点在于理解其应用；定理1、介值定理设是上的连续函数，并且，则对于任意介于和之间的（或）,存在一点使得.Rbaf,:ba,bfafafbfafbfbfafba,f（Intermediatevaluetheorem）直观解释与证明思路abxyOf(a)f(b)一定有交点找到一个交点的方法：二分法baI,0记，将它分成两个等长区间bbabaa,2,2,并考虑与2baf的大小关系，例如2bafaf则记，同理得2,1baaI,,,432III一族长度趋近于0的闭区间唯一确定一实数.例1、介质定理的一个实际应用考虑地球表面的任一大圆，设有某一参数沿圆周连续变化（如温度、压强、CO2浓度），那么这个圆周上一定存在一组对径点（即直径与圆周的两个交点），它们具有相同参数.任取一直径，若其两端点对应参数相同，则原命题得证.否则，它们的差是该直径旋转角度的连续函数（为什么？）；在旋转180°的过程中，该函数取值绝对值不变但改变符号，因此其间必有零点，即参数相同的位置.例2、实系数多项式的根005423324150aaxaxaxaxaxaxP如有一个实根分析：当充分大时，的符号由所确定；因此当和时，的符号相反，因此必定有一个零点.xxP50xaxxxP证：改写，当时0x55443322105xaxaxaxaxaaxxP0lim05544332210axaxaxaxaxaax0,05544332210xaxaxaxaxaaXxX00;00xPXxxPXx根据介值定理，0,,cPbac定理2、最大（小）值定理设是上的连续函数，则它的函数值有最大值和最小值.即存在及使得Rbaf,:ba,bax,1bax,221,,xfxfxfbax定理3、有界性定理闭区间上的连续函数是有界函数，即存在常数使得.NM,MxfNbax,,最值定理的几何含义是明显的：xyO1xf2xfxfab1x2x有界性则与闭区间密切相关：开区间上的连续函数可以是无界的：1,0,1xxxf开区间上的有界连续函数未必有最值：1,0,2xxxf关于有界性的说明连续→有极限→有界：连续意味着该点处极限（包括单侧极限）存在且等于函数值，这意味着该点的函数值有界；对闭区间任一点有界则整个区间上有界.关于最大（小）值的说明：首先，全体取值的集合是有上界的，而有上界的非空实数子集必有极小上界（还是二分法！），因此该集合有极小上界；接着说明这个极小上界能够在上取得，方法是不断将二分，其中必有一个与原闭区间具有相同的极小上界.ba,ba,例3、一一映射与单调性的关系设在上连续，若在中是一一映射，即,则在上是严格单调的.xfba,xfba,xfxfxxxfba,分析：直观上比较明显，说理时采取反证；即，若连续且不严格单调则不能一一映射.证：不严格单调有2种情况，当时321xxx312,minxfxfxf312,maxxfxfxf(A)(B)(A)312,minxfxfxf1211,,fxx(B)231,maxxfxfxf2322,,fxx连续＋一一满射→严格单调严格单调＋一一满射→连续且反函数连续所以，连续＋一一满射→反函数连续定理4、如果一个连续函数有单值反函数，则反函数连续.第一章、函数与极限全章复习指导1、定义：理解思想，熟悉语言2、定理：证明方法，综合应用3、补遗：个人整理第2部分、定理序列极限：“三明治”定理，极限不等式，四则运算，有极限必有界；函数极限：“三明治”定理，极限不等式，四则运算，函数值序列的极限等于序列极限的函数值；闭区间上的连续函数：介值定理，最值定理，有界性，反函数连续；第1部分、定义（证明的基础）序列极限；函数极限：单侧极限，双侧极限；自变量趋于无穷时的极限；连续性：单侧连续，双侧连续，间断点有界性：上界，下界，无穷大量第3部分、补遗一些重要极限1sinlim,11lim0xxexxxx初等函数均为连续函数；实数定义：单调有界，闭区间族；二分法在证明中的应用……感谢倾听！