绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷(全国2卷)(第二次模拟考试)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知1|B3,2,1,0,1-Axx,,则AB的元素个数为A.0B.2C.3D.52.复数iiz2)2((i为虚数单位),则A.5B.5C.25D.413.函数1cos22sin)(2xxxf的最小正周期为A.πB.2πC.3πD.4π4.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),)(4,xc,若cba)(,则x=A.1B.2C.3D.45.若双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy2,则其离心率为A.2B.3C.2D.36.已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则该几何体的体积是A.1B.32C.2D.37.若x、y满足约束条件,00203yyxyx则yxz34的最小值为A.0B.-1C.-2D.-38.已知x=lnπ,y=log52,12=ez,则A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x9.在数学解题中,常会碰到形如“xyyx1”的结构,这时可类比正切的和角公式.如:设ba,是非零实数,且满足158tan5sin5cos5cos5sinbaba,则ab=A.4B.15C.2D.310.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是A.ii,iSS,i2120B.ii,iSS,i2120C.1220ii,SS,iD.1220ii,SS,i11.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是A.101B.103C.53D.5212.已知点A(0,2),抛物线C1:)0(2aaxy的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|=1∶5,则a的值为A.14B.12C.1D.4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数xxxfsin2)(,当1,0x时,函数)(xfy的最大值为_________.14.已知函数)x(f是奇函数,当))(f(f,xlg)x(fx10010则时,的值为_________.15.已知直三棱柱111CBAABC的6个顶点都在球O的球面上,若AB=6,AC=10,ACAB,,521AA则球O的表面积为.16.在△ABC中,已知(a+b)∶(c+a)∶(b+c)=6∶5∶4,给出下列结论:①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC一定是钝角三角形;③sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3;④若b+c=8,则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:(共60分)17.(12分)已知等差数列na中,1673aa,064aa(1)求na的通项公式na;(2)求na的前n项和nS.18.(12分)如图所示,四棱锥S-ABCD中,SA底面ABCD,CDAB//,,3ABACAD,4CDSAP为线段AB上一点,,2PBAPSQ=QC.(1)证明:PQ//平面SAD;(2)求四面体C-DPQ的体积.19.(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋),得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x(万人)13981012原材料y(袋)3223182428(1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程axbyˆˆ;(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为)(36,380)(360,20400NtttNtttC ,投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入-原材料费用).参考公式:xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniiiˆˆ,)())((ˆ1221121.参考数据:511343iiixy,521558iix,5213237iiy.20.(12分)已知椭圆14522yx的右焦点为F,设直线l:5x与x轴的交点为E,过点F且斜率为k的直线1l与椭圆交于A,B两点,M为线段EF的中点.(1)若直线1l的倾斜角为π4,求|AB|的值;(2)设直线AM交直线l于点N,证明:直线BN⊥l.21.(12分)已知函数).1ln()(xaxxf(1)的单调区间;求时当)(,2xfa;(2)当a=1时,关于x的不等式)(2xfkx在),0[上恒成立,求k的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点,轴正方向为极轴,已知曲线的方程为1)1(22yx,的方程为3yx,3C是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)求与的极坐标方程;(2)若与的一个公共点为(异于点),与的一个公共点为,求OBOA3的取值范围.OAOB23.[选修4-5:不等式选讲](10分)(1),1,,,cbaRcba且已知证明;9111cba(2),abc,Rc,b,a1且已知证明cbacba111.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题:123456789101112BAAABBCDDDCD二.填空题:13.2-sin114.2lg15.16②③17解:设{an}的公差为d,则1111(2)(6)16,350,adadadad1212181216,4.adadad即118,8,22.aadd解得或(1)an=2n-10,an=-2n+10.(2)Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).18解析:(1)证明:由已知得AP=23AB=2.如图,取DS的中点T,连接AT,TQ,由N为PC中点知TQ∥DC,TQ=12DC=2.又AB∥DC,故TQ||=AP,,,//SADATATMN平面又从而证得PQ//平面SAD;(2)因为SA⊥平面ABCD,Q为SC的中点,所以Q到平面ABCD的距离为12SA.如图,取DC的中点E,连接AE.由AD=AC=3得AE⊥DC,则AE=5.故S△BCP=12×4×5=25.所以四面体C-DPQ的体积VC-DPQ=13×S△DCP×PA2=453.S球=4πR2=36π.19【答案】(1)15.2xy;(2)餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11520元.【解析】(1)由所给数据可得:1398101210.45x,3223182428255y,························2分515222151343510.4252.5558510.45iiiiixyxybxx,252.510.41aybx,则y关于x的线性回归方程为2.51yx(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当15x时,36.5y,即预计需要原材料36.5袋,因为40020,036,380,36,NNtttCttt,所以当36t时,利润7004002030020Lttt,当35t时,利润L=300×35+20=10520当36t时,利润L=700t-380t,当36t时,利润.L=700×36-380×36=11520当t=37时,利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述,餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11520元.20.由题意知,F(1,0),E(5,0),M(3,0).(1)∵直线l1的倾斜角为π4,∴斜率k=1.∴直线l1的方程为y=x-1.代入椭圆方程,可得9x2-10x-15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=109,x1x2=-53.∴|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×354)910(2=1659.(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1).代入椭圆方程,得(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=10k24+5k2,x1x2=5k2-204+5k2.设N(5,y0),∵A,M,N三点共线,∴-y13-x1=y02,∴y0=2y1x1-3.而y0-y2=2y1x1-3-y2=2k(x1-1)x1-3-k(x2-1)=3k(x1+x2)-kx1x2-5kx1-3=3k·10k24+5k2-k·5k2-204+5k2-5kx1-3=0.∴直线BN∥x轴,即BN⊥l.21.解:(1)当a=2时,),xln(x)x(f1211121xxx)x(f',是减函数,(时,当xf)xf,x'011,是增函数函数;,,,)x(f)x(f),(x'01),1[1,1)(,增区间为的减区间为所以,xf(1).0)1ln()()1ln()(122xxkxxfkxxxxfa,即,时,当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可,在,则只需,设xgxxxkxxg易知.xxxx]xk[xxkx)x(g)(g'0101112111200,所以,因为)(,)上单调递减,,在,此时时,当0[)(0)(0'xgxgk与题设矛盾;所以,0)0()(gxg0)(2110(02110)(210''xgkxkxxgk)时,,,当得时,由当,与题设矛盾;时,,(上单调递减,所以,当,在,此时时,,当0)0()()2110)2110()(0)()211('gxgkxkxgxgkx0)0()(0[)(0)(21'gxgxgxgk)上单调递增,所以,在,故时,当恒成立.综上,.21k22.解:(1)曲线的方程为1)1(22yx,1C的极坐标方程为cos2的方程为3yx,其极坐标方程为sincos3(2)是一条过原点且斜率为正值的直线,的极坐标方程为20,,联立1C与3C的极坐标方程cos2,得cos2,即cos2OA联立1C与2C的极坐标方程sincos3,得sincos3,即sincosOB3所以4223cossincoscosOBOA又20,,所以),(OBOA11323.证明:(1)因为ccbabcbaacbacba111111cbcabcbaacab时等号成立,