全国数学2卷2020届高三第二次模拟试题(文科)以及答案

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）(第二次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知1|B3,2,1,0,1-Axx，，则AB的元素个数为A．0B．2C．3D．52．复数iiz2)2((i为虚数单位)，则A．5B．5C．25D．413．函数1cos22sin)(2xxxf的最小正周期为A.πB.2πC.3πD.4π4.已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，）（4,xc，若cba)(，则x＝A．1B．2C．3D．45．若双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy2,则其离心率为A．2B．3C．2D．36．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则该几何体的体积是A．1B．32C．2D．37．若x、y满足约束条件，00203yyxyx则yxz34的最小值为A．0B．-1C．-2D．-38．已知x＝lnπ，y＝log52，12=ez，则A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设ba,是非零实数，且满足158tan5sin5cos5cos5sinbaba，则ab＝A．4B．15C．2D．310．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是A．ii,iSS,i2120B．ii,iSS,i2120C．1220ii,SS,iD．1220ii,SS,i11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是A．101B．103C．53D．5212.已知点A(0,2)，抛物线C1：)0(2aaxy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶5，则a的值为A．14B．12C．1D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数xxxfsin2)(，当1,0x时，函数)(xfy的最大值为_________.14．已知函数)x(f是奇函数，当))(f(f,xlg)x(fx10010则时，的值为_________.15．已知直三棱柱111CBAABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB=6，AC=10，ACAB,,521AA则球O的表面积为.16．在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：(共60分)17．(12分)已知等差数列na中，1673aa，064aa（1）求na的通项公式na；（2）求na的前n项和nS.18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA底面ABCD，CDAB//,,3ABACAD,4CDSAP为线段AB上一点，,2PBAPSQ=QC.（1）证明：PQ//平面SAD;（2）求四面体C-DPQ的体积.19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋)，得到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x(万人)13981012原材料y(袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程axbyˆˆ；（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t(袋)的关系为)(36,380)(360,20400NtttNtttC　　　，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L＝销售收入－原材料费用）.参考公式：xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniiiˆˆ,)())((ˆ1221121.参考数据：511343iiixy，521558iix，5213237iiy.20．(12分)已知椭圆14522yx的右焦点为F，设直线l:5x与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线1l与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．(1)若直线1l的倾斜角为π4，求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.21．(12分)已知函数).1ln()(xaxxf（1）的单调区间；求时当)(,2xfa;（2）当a=1时，关于x的不等式)(2xfkx在），0[上恒成立，求k的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22yx，的方程为3yx，3C是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为，求OBOA3的取值范围.OAOB23．[选修4－5：不等式选讲](10分)（1）,1,,,cbaRcba且已知证明；9111cba（2）,abc,Rc,b,a1且已知证明cbacba111.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题：123456789101112BAAABBCDDDCD二.填空题：13．2－sin114．2lg15．16②③17解：设{an}的公差为d，则1111(2)(6)16,350,adadadad1212181216,4.adadad即118,8,22.aadd解得或（1）an=2n-10，an=－2n+10.（2）Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).18解析：(1)证明:由已知得AP＝23AB＝2.如图，取DS的中点T，连接AT，TQ，由N为PC中点知TQ∥DC，TQ＝12DC＝2.又AB∥DC，故TQ||=AP，,,//SADATATMN平面又从而证得PQ//平面SAD;(2)因为SA⊥平面ABCD，Q为SC的中点，所以Q到平面ABCD的距离为12SA.如图，取DC的中点E，连接AE.由AD＝AC＝3得AE⊥DC，则AE＝5.故S△BCP＝12×4×5＝25.所以四面体C-DPQ的体积VC-DPQ＝13×S△DCP×PA2＝453.S球＝4πR2＝36π.19【答案】（1）15.2xy；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】(1)由所给数据可得：1398101210.45x，3223182428255y，························2分515222151343510.4252.5558510.45iiiiixyxybxx，252.510.41aybx，则y关于x的线性回归方程为2.51yx(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x时，36.5y，即预计需要原材料36.5袋，因为40020,036,380,36,NNtttCttt，所以当36t时，利润7004002030020Lttt，当35t时,利润L=300×35+20=10520当36t时，利润L＝700t－380t，当36t时，利润.L=700×36-380×36=11520当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.20．由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．(1)∵直线l1的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l1的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2×354)910(2＝1659.(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝10k24＋5k2，x1x2＝5k2－204＋5k2.设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，∴－y13－x1＝y02，∴y0＝2y1x1－3.而y0－y2＝2y1x1－3－y2＝2k(x1－1)x1－3－k(x2－1)＝3k(x1＋x2)－kx1x2－5kx1－3＝3k·10k24＋5k2－k·5k2－204＋5k2－5kx1－3＝0.∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.21.解：（1）当a=2时，),xln(x)x(f1211121xxx)x(f'，是减函数，（时，当xf)xf,x'011，是增函数函数；，，，)x(f)x(f),(x'01),1[1,1)(，增区间为的减区间为所以，xf（1）.0)1ln()()1ln()(122xxkxxfkxxxxfa，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设xgxxxkxxg易知.xxxx]xk[xxkx)x(g)(g'0101112111200，所以，因为）（，）上单调递减，，在，此时时，当0[)(0)(0'xgxgk与题设矛盾；所以,0)0()(gxg0)(2110(02110)(210''xgkxkxxgk）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('gxgkxkxgxgkx0)0()(0[)(0)(21'gxgxgxgk）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22yx，1C的极坐标方程为cos2的方程为3yx，其极坐标方程为sincos3（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为20，，联立1C与3C的极坐标方程cos2，得cos2，即cos2OA联立1C与2C的极坐标方程sincos3，得sincos3，即sincosOB3所以4223cossincoscosOBOA又20，，所以),(OBOA11323.证明：（1）因为ccbabcbaacbacba111111cbcabcbaacab时等号成立，