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第22讲平行四边形1．n边形以及四边形的性质(1)n边形的内角和为__(n－2)·180°__，外角和为__360°__，对角线条数为__n（n－3）2__.(2)四边形的内角和为__360°__，外角和为__360°__，对角线条数为__2__.(3)正多边形的定义：各条边都__相等__，且各内角都__相等__的多边形叫正多边形．2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：①平行四边形两组对边分别__平行且相等__；②平行四边形对角__相等__，邻角__互补__；③平行四边形对角线__互相平分__；④平行四边形是__中心__对称图形．(2)判定方法：①定义：__两组对边分别平行__的四边形是平行四边形；②__一组对边平行且相等__的四边形是平行四边形；③__两组对边分别相等__的四边形是平行四边形；④__两组对角分别相等__的四边形是平行四边形；⑤__对角线互相平分__的四边形是平行四边形．3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．第1题图第2题图1．(2012·葫芦岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB的周长为(C)A．12B．13C．15D．162．(2012·阜新)如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE，CF交于点G.若使EF＝14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是(D)A．∠ABC＝60°B．AB∶BC＝1∶4C．AB∶BC＝5∶2D．AB∶BC＝5∶83．(2014·沈阳)如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点H，连接EM.若▱ABCD的周长为42cm，FM＝3cm，EF＝4cm，则EM＝__5__cm，AB＝__13__cm.5．(2014·抚顺)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝4cm，则DE＝__2__cm.4．(2014·河北)如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是(A)A.52B．3C．4D．5第4题图第5题图平行四边形的判定【例1】(2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：如图，连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)平行四边形相关边、角、周长与面积问题【例2】(2014·怀化)如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)∠FAD＝∠CDE.证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1＝∠2，在△ABE和△AFE中，∠B＝∠AFE，∠1＝∠2，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(AAS)(2)∵△ABE≌△AFE，∴AB＝AF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF＝CD，∠ADF＝∠DEC，∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝∠AFE，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DCE中，∠ADF＝∠FEC，∠C＝∠AFD，AF＝DC，∴△AFD≌△DCE(AAS)，∴∠FAD＝∠CDE【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．2．(2013·宁夏)在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值；(2)试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？解：(1)延长PE交CD的延长线于F，设AP＝x，△CPE的面积为y，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，FC＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，当x＝5时，y有最大值2532，即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是2532(2)当△CPE≌△CPB时，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△EDC是等腰三角形，过D作DM⊥CE于M，则CM＝12CE，在Rt△CMD中，∠ECD＝30°，∴cos30°＝CMCD＝32，∴CM＝32CD，∴CE＝3CD，∵BC＝CE，AB＝CD，∴BC＝3AB，则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC＝3AB运用平行四边形的性质进行推理论证【例3】(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，在△EBC和△FDA中，∠EBC＝∠ADF，BC＝AD，∠BCE＝∠DAF，∴△EBC≌△FDA(ASA)【点评】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．3．(1)(2013·益阳)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(D)A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．AB＝CDD．AC⊥BD(2)(2014·贺州)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2.①求证：BE＝DF；②求证：AF∥CE.证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠4，∠3＝∠5，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF；②由①得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE三角形中位线定理【例4】(2013·鞍山)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__.【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．4．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E.∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__.在此输入您的封面副标题