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第24讲圆的基本性质1．主要概念(1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心，__定长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__，连接圆上任意两点的线段叫__弦__，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的__弦__．(3)圆心角：顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在__圆上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在__同圆或等圆__中，能够完全__重合__的弧．2．圆的有关性质(1)圆的对称性①圆是__轴对称__图形，其对称轴是__过圆心的任意一条直线__．②圆是__中心对称__图形，对称中心是__圆心__．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．(2)垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__；②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__．②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)①点P在圆上⇔__d＝r__；②点P在圆内⇔__dr__；③点P在圆外⇔__dr__.(6)过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边__垂直平分线__的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．(7)圆的内接四边形圆内接四边形的对角__互补__．3．相关辅助线1．(2014·朝阳)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为__200__m.2．(2014·辽阳)如图，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC＝130°，则∠BAC＝__130°__.3．(2014·抚顺)如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E，F，G，H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是__1__.第1题图第2题图第3题图4．(2014·辽宁)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC＝100°，那么∠B＝__50°__.5．(2013·沈阳)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____.13第4题图第5题图圆周角与圆心角的关系【例1】(2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为(B)A．30°B．40°C．50°D．80°【点评】当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来．1．(2014·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)A．25°B．50°C．60°D．80°圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例2】(2014·龙东)直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__.【点评】在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．2．(2013·内江)如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(A)A．45cmB．35cmC．55cmD．4cm点与圆的位置关系【例3】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，P点在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．3．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是(A)A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外垂径定理及应用【例4】(2014·南宁)在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160cm，则油的最大深度为(A)A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm【点评】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想．4．(2014·哈尔滨)如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．(1)解：在△AEB和△DEC中，∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴∠ACB＝60°(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，作BM⊥AC于点M，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝52，BM＝BC2－CM2＝532，∴AM＝AC－CM＝112，∴AB＝AM2＋BM2＝7在此输入您的封面副标题