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第32讲图形的相似1．比和比例的有关概念(1)表示两个比相等的式子叫做__比例式__，简称比例．(2)第四比例项：若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么d叫做a，b，c的__第四比例项__．(3)比例中项：若ab＝bc或a∶b＝b∶c，那么b叫做a，c的__比例中项__．(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段__黄金分割__．即AC2＝__AB·BC__，AC＝__5－12__AB≈__0.618__AB.一条线段的黄金分割点有__两__个．2．比例的基本性质及定理(1)ab＝cd⇒ad＝bc；(2)ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；(3)ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.3．平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成__比例__；(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的__相似比__．5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.8．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角__相等__，对应边__成比例__．(2)相似多边形周长之比等于__相似比__，面积之比等于__相似比的平方__．9．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线相交于__一点__，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做__位似中心__．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__．1．(2013·沈阳)如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于(B)A.203B.154C.163D.1742．(2012·盘锦)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为4，6，x的三个正方形，则x的值为(C)A．24B．12C．10D．8第1题图第2题图3．(2014·葫芦岛)如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE＝__2.5__.4．(2013·本溪)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有__3__个．第4题图第3题图5．(2014·沈阳)如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若DE＝5，则BC的长为(C)A．7.5B．10C．15D．20比例的基本性质、黄金分割【例1】(2012·凉山州)已知ba＝513，则a－ba＋b的值是(D)A.23B.32C.94D.49【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．1．(1)若a2a－b＝23，则ba＝__12__.(2)已知a2＝b5＝c7，且a＋b＋c≠0，则2a＋3b－2ca＋b＋c的值为(A)A.514B.511C.145D.1617三角形相似的性质及判定【例2】(2014·宜昌)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF；(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．(1)证明：∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF(2)解：∵CF∶FB＝1∶2，∴设CF＝x，FB＝2x，则BC＝3x，∵AE＝3EB，∴设EB＝y，则AE＝3y，AB＝4y，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y，∵△ADE∽△CDF，∴AEAD＝CFCD，∴3y3x＝x4y，∵x，y均为正数，∴x＝2y，∴BC＝6y，CF＝2y，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，由勾股定理得DF＝DC2－FC2＝（4y）2－（2y）2＝23y，∴⊙O的面积为π·(12DC)2＝14π·DC2＝14π(4y)2＝4πy2，四边形ABCD的面积为BC·DF＝6y·23y＝123y2，∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2：123y2＝π∶33【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．2．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；(2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，在△ABM和△BCP中，AB＝BC，∠ABC＝∠C，CP＝BM，∴△ABM≌△BCP(SAS)，∴AM＝BP，∠BAM＝∠CBP，∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∴∠CBP＋∠AMB＝90°，∴AM⊥BP，∵线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM＝MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形(2)解：BM＝MC.理由如下：∵∠BAM＋∠AMB＝90°，∠AMB＋∠CMQ＝90°，∴∠BAM＝∠CMQ，又∵∠ABM＝∠C＝90°，∴△ABM∽△MCQ，∴ABMC＝AMMQ，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴ABBM＝AMMQ，∴ABMC＝ABBM，∴BM＝MC相似三角形综合问题【例3】(2014·安顺)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝46，求BG的长．(1)证明：连OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°，又∵PC＝PG，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线(2)证明：连OG，如图，∵BG2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，即OG⊥BG，∴BG＝CG，即点G是BC的中点(3)解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE＝FD，而AB＝10，ED＝4，∴EF＝2，OE＝5，在Rt△OEF中，OF＝＝＝1，∴BF＝5－1＝4，∵BG2＝BF·BO，∴BG2＝BF·BO＝4×5，∴BG＝2【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．3．(2014·绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN＝2ymm，则PQ＝ymm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80，解得y＝2407，∴PN＝2407×2＝4807(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm，4807mm(2)设PN＝xmm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即x120＝80－PQ80，解得PQ＝80－23x.∴S＝PN·PQ＝x(80－23x)＝－23x2＋80x＝－23(x－60)2＋2400，∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－23×60＝40(mm)相似多边形与位似图形【例4】(2012·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.解：如图：【点评】本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．4．(2014·南通)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝3，求GD的长．(1)证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD(2)解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∴BP＝12AB＝1，AP＝AB2－BP2＝3，∵AE＝AG＝3，∴EP＝23，∴EB＝EP2＋BP2＝12＋1＝13，∴GD＝13在此输入您的封面副标题