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第24讲与圆有关的位置关系第24讲┃与圆有关的位置关系核心考点一一元二次方程的解法┃考点梳理与跟踪练习┃相关知识点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点到圆心的距离是d__________________直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d(1)直线l和⊙Odr(2)直线l和⊙Od＝r(3)直线l和⊙Odrd＞rd＝rd＜r第24讲┃与圆有关的位置关系经典示例例1在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B，C均在⊙P内C第24讲┃与圆有关的位置关系[解析]由题意可知AP＝2，PB＝6，AD＝BC＝35，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝7，PC＝PB2＋BC2＝9.∵PBPD，∴点B在⊙P内．∵PCPD，∴点C在⊙P外．故选C.第24讲┃与圆有关的位置关系【方法指导】判断点和圆的位置关系的方法是比较点到圆心的距离和半径的大小．若其中的某个量是未知的，先求出这个未知量，再进行比较，作出判断．第24讲┃与圆有关的位置关系例2[2012·无锡]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交D[解析]分OP垂直于直线l，OP不垂直于直线l两种情况讨论．当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．第24讲┃与圆有关的位置关系【方法指导】判断直线与圆的位置关系的方法：(1)根据定义，由直线与圆的交点情况直接判断；(2)利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较．在判断其关系时，要结合题目的已知条件选择正确的方法．第24讲┃与圆有关的位置关系核心练习1．[2013·大兴模拟]已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y＝x2－2x＋d与x轴有两个不同的交点，则点P()A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．与⊙O的位置关系无法确定A第24讲┃与圆有关的位置关系2．[2014·白银]已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断A[解析]设圆O的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直线l与圆O相交．故选A.第24讲┃与圆有关的位置关系3．一点和⊙O上的点最近距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是____________cm.6.5或2.5第24讲┃与圆有关的位置关系4．[2014·甘肃]如图24－1，在△ABC中，先作∠BAC的平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O.(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)图24－1第24讲┃与圆有关的位置关系解：如图第24讲┃与圆有关的位置关系核心考点二切线的性质和判定相关知识切线的性质定理圆的切线______于经过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过______推论2经过切点且垂直于切线的直线必过______垂直切点圆心第24讲┃与圆有关的位置关系切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长______，圆心与这一点的连线______两条切线的夹角．如图，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB.(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠CAP＝∠CBP.(3)AB⊥OP且AC＝BC相等平分第24讲┃与圆有关的位置关系切线的判定定义法和圆有______公共点的直线是圆的切线方法一如果圆心到一条直线的距离等于圆的______，那么这条直线是圆的切线方法二经过半径外端点并且______于这条半径的直线是圆的切线唯一半径垂直第24讲┃与圆有关的位置关系经典示例例3[2013·桐城二模]如图24－2，BC为半圆O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点，∠ABD＝60°，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于点F，过点A作AG∥BE交CB的延长线于点G.(1)判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若直径BC＝2，求线段AF的长．图24－2第24讲┃与圆有关的位置关系解：(1)直线AG与⊙O相切．理由：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴BA︵，AE︵，EC︵相等，∴点A是BE︵的中点，∴OA⊥BE.又∵AG∥BE，∴OA⊥AG，∴直线AG与⊙O相切．第24讲┃与圆有关的位置关系(2)∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB＝∠AOE＝∠EOC＝60°.又∵OA＝OB，∴△ABO为等边三角形．∵AD⊥OB，OB＝1，∴BD＝OD＝12，AD＝32.又∠EBC＝12∠EOC＝30°，第24讲┃与圆有关的位置关系在Rt△FBD中，FD＝BD·tan∠EBC＝BD·tan30°＝36，∴AF＝AD－DF＝32－36＝33.第23讲┃圆的有关性质【方法指导】1．证明圆的切线常用的作辅助线方法：①连接圆心和切点；②过圆心作直线的垂线段．2．证明直线是圆的切线，有两种途径：①直线过圆上一点，通常连接圆心和圆上这点得半径，证明它与直线垂直；②不知道直线与圆是否有公共点，通常过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段的长度等于圆的半径．第24讲┃与圆有关的位置关系核心练习5．[2014·邵阳]如图24－3，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的度数为()A．30°B．45°C．60°D．40°图24－3A第24讲┃与圆有关的位置关系6．[2014·娄底]如图24－4所示，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．图24－4第24讲┃与圆有关的位置关系解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠CBD＝∠ADB＝90°.又∵∠C＝∠A，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.(2)∵BE是切线，∴∠ABE＝90°.又∵∠CBD＝90°，∴∠ABE－∠ABD＝∠CBD－∠ABD，∴∠ABC＝∠DBE＝37°，∴∠ADC＝∠ABC＝37°.第24讲┃与圆有关的位置关系7．[2013·合肥市蜀山区二模]如图24－5，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：EF与⊙O相切；(2)若AE＝6，sin∠CFD＝35，求EB的长．图24－5第24讲┃与圆有关的位置关系解：(1)证明：连接OD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB，∴∠ODF＝∠AEF.∵EF⊥AB，第24讲┃与圆有关的位置关系∴∠ODF＝∠AEF＝90°.∴OD⊥EF.又∵OD为⊙O的半径，∴EF与⊙O相切．第24讲┃与圆有关的位置关系(2)由(1)知，OD∥AB，OD⊥EF.在Rt△AEF中，sin∠CFD＝AEAF＝35，AE＝6，∴AF＝10.∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴OFAF＝ODAE.第24讲┃与圆有关的位置关系设⊙O的半径为r，∴10－r10＝r6.解得r＝154.∴AB＝AC＝2r＝152.∴EB＝AB－AE＝152－6＝32.第24讲┃与圆有关的位置关系核心考点三三角形的内心和外心相关知识图形名称确定方法性质外心(三角形____圆的圆心)三角形______________的交点(1)OA＝OB＝OC.(2)锐角三角形的外心在______________；直角三角形的外心是_________；钝角三角形的外心在_______________外接三边垂直平分线三角形的内部斜边的中点三角形的外部第24讲┃与圆有关的位置关系内心(三角形____圆的圆心)三角形_______________的交点(1)ID＝IE＝IF.(2)AI，BI，CI分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB内切三条内角平分线第24讲┃与圆有关的位置关系经典示例例4[2013·怀远模拟]在锐角三角形ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝45.(1)如图24－6①，求三角形ABC外接圆的直径；(2)如图②，点I为三角形ABC的内心，若BA＝BC，求AI的长．图24－6第24讲┃与圆有关的位置关系解：(1)过点B作DB垂直于BC交圆于点D，连接DC.∵∠DBC＝90°，∴DC为直径，∴∠A＝∠D.∵BC＝5，sinA＝45，∴sinD＝BCCD＝45，∴CD＝254，即三角形ABC外接圆的直径是254.第24讲┃与圆有关的位置关系(2)连接IC，BI，且延长BI交AC于点F，过点I作IG⊥BC于点G，过点I作IE⊥AB于点E.∵AB＝BC＝5，点I为△ABC的内心，∴BF⊥AC，AF＝CF.∵sinA＝45＝BFAB，∴BF＝4.在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝CF＝3，AC＝2AF＝6.∵点I是△ABC的内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，第24讲┃与圆有关的位置关系∴IE＝IF＝IG.设IE＝IF＝IG＝R，∵△ABI，△ACI，△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴12AB×R＋12BC×R＋12AC×R＝12AC×BF，即5×R＋5×R＋6×R＝6×4，∴R＝32.在△AIF中，AF＝3，IF＝32，由勾股定理得AI＝325.答：AI的长是325.第24讲┃与圆有关的位置关系核心练习8．[2012·泉州]如图24－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则()A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF图24－7C第24讲┃与圆有关的位置关系[解析]如下图，连接OA，OB，则OA，OB分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB，又EF∥AB，则∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，则EA＝EO，同理可求出：FO＝FB，则EF＝AE＋FB.第24讲┃与圆有关的位置关系9．如图24－8，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________．图24－890°第24讲┃与圆有关的位置关系10．如图24－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I是它的内心，点O是它的外心．AC＝3，BC＝4，求OI的长．图24－9第24讲┃与圆有关的位置关系解：分别过点I作ID⊥AC，垂足为D，IE⊥AB，垂足为E，IF⊥BC，垂足为F.连接IA，IB，IC.∵点I是内心，∴ID＝IE＝IF.∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.∵S△ABC＝S△IAC＋S△IBC＋S△IAB∴AC·BC＝IE·(AB＋BC＋CA)，第24讲┃与圆有关的位置关系∴IE＝3×43＋4＋5＝1，∴AE＝AD＝AC－CD＝3－1＝2.∵点O是外心，∴OA＝52，∴OE＝OA－AE＝12，∴OI＝IE2＋OE2＝52.第24讲┃与圆有关的位置关系1．如图24－10，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于点A，则PA＝________．图24－104第24讲┃与圆有关的位置关系[解析]∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA.在Rt△OPA中，OP＝5，OA＝3，∴PA＝OP2－OA2＝4.第24讲┃与圆有关的位置关系2．如图24－11，AC是⊙O的直径，PA⊥AC于点A，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D.(1)求证：直线PB是⊙O的切线；(2)若BD＝2PA，OA＝3，PA＝4，求BC的长．图24－11第24讲┃与圆有关的位置关系解：(1)证明：连接OB.∵BC∥OP，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB.∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠POB＝∠POA.又∵PO＝P