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第3讲因式分解1．因式分解把一个多项式化成几个积的形式，叫做因式分解，因式分解与是互逆运算．2．基本方法(1)提取公因式法ma＋mb－mc＝．(2)公式法运用平方差公式：a2－b2＝；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝.整式整式乘法m(a＋b－c)(a＋b)(a－b)(a±b)23．因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．1．(2014·玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是()A．x2＋y2B．x2－yC．x2＋x＋1D．x2－2x＋12．(2014·毕节)下列因式分解正确的是()A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)B．x2＋2x－1＝(x－1)2C．x2＋1＝(x＋1)2D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2DA3．(2014·威海)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是()A．x2－1B．x(x－2)＋(2－x)C．x2－2x＋1D．x2＋2x＋14．(2014·锦州)分解因式：2x2－4x＋2＝.5．(2014·铁岭)分解因式：a3b－2a2b2＋ab3＝.D2(x－1)2ab(a－b)2因式分解的意义【例1】(2014·泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是()A．y(x＋y)2B．y(x－y)2C．y(x2－y2)D．y(x＋y)(x－y)【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．D1．(2014·安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5yB提取公因式法分解因式【例2】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝．【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．(a＋b)(a＋b＋c)2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是.(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是()A．m＋1B．2mC．2D．m＋2(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．解：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)x－2D运用公式法分解因式【例3】(1)①(2014·东营)3x2y－27y＝；②(2014·邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是.(2)分解因式：①(2014·黄冈)(2a＋1)2－a2＝；②(2014·淄博)8(a2＋1)－16a＝.【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．3y(x＋3)(x－3)n(m－1)2(3a＋1)(a＋1)8(a－1)23．分解因式：(1)9x2－1；(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；(3)(2012·临沂)a－6ab＋9ab2；(4)(2013·湖州)mx2－my2.解：(1)9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)(2)25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)(3)a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2(4)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)综合运用多种方法分解因式【例4】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．【点评】灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．解：(12x2＋x－1)＋(12x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(12x2＋x－1)＋(12x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(12x2＋3x＋1)＋(12x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)24．(1)(2014·武汉)分解因式：a3－a＝；(2)(2014·黔东南州)分解因式：x3－5x2＋6x＝；(3)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4；解：(x＋2)(x＋4)＋x2－4＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)(x＋4＋x－2)＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)a(a＋1)(a－1)x(x－3)(x－2)(4)在实数范围内分解因式：m4－9.解：m4－9＝(m2＋3)(m2－3)＝(m2＋3)(m＋3)(m－3)因式分解的应用【例5】(1)(2014·河北)计算：852－152＝()A．70B．700C．4900D．7000(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．解：∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，即(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2【点评】(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．D5．(1)(2014·徐州)若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于____.(2)(2014·北京)已知x－y＝3，求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．－2解：原式＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1，把x－y＝3代入，原式＝3＋1＝4在此输入您的封面副标题