同一直线上(不)同频率的简谐运动的合成

上页下页返回退出上页下页返回退出设一质点同时参与沿同一方向(x轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：合位移：22121220102cos()AAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。1102200110220sinsintgcoscosAAAA一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAt其中§1-81-9一维谐振动的合成上页下页返回退出上页下页返回退出矢量沿X轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法XO1Ar10202Ar12AAA=+rrr1x2xArx22121220102cos()AAAAA上页下页返回退出上页下页返回退出1.当两振动同相同相迭加，合振幅最大。21AAA20102012kk，，，，tx1x2x讨论：2.两振动反相反相迭加，合振幅最小。21AAA2010(21)012kk，，，，上页下页返回退出上页下页返回退出当A1=A2时，A=0。tx1x2x3.通常情况下，合振幅介于21AA21AA之间。和tx1x2x上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出例10-6N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅求它们的合振动的振幅和初相。解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：taxcos120cos()xat30cos(2)xat0cos[(1)]NxatN振动表达式可写成:相等，初相分别为000023，，，，依次差一个恒量0，上页下页返回退出上页下页返回退出OX1a2a3a4a5a0000CAM根据简单的几何关系，可得中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上，因各个振动的振幅相同且相差依次恒为，上图00OCMN令其半径为R，0上页下页返回退出上页下页返回退出考虑到在三角形DOCM中,OM的长度就是和振动位移矢量的位移,角度就是合振动的初相，据此得MOX02sin2NAR02sin2aR00sin2sin2NAa上页下页返回退出上页下页返回退出0MOXCOXCOM000111()()222NN合振动初位相可得合振动的表达式0000sin12cos()cos()2sin2NNxAtat当00时(同相合成)，有ANa00合振幅最大上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出上页下页返回退出两个简谐振动合成得：当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。x=x1+x21100cos(),cos()1222xAtxAt二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成拍12两个简谐振动的频率12很接近，且和212102cos()cos()22xAtt上页下页返回退出上页下页返回退出合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。拍频:单位时间内强弱变化的次数。因或有2,21112~,21122在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化,第二项是角频率近于的简谐函数。合振动可视为是角频率为、振幅为的简谐振动。12()2212cos()2At或21212112上页下页返回退出上页下页返回退出拍频的形成