弹性体振动

第六章弹性体振动•前各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。•事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。6.1介绍•客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定。•由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。•在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个；•主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性；•在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。•在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。•例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。•当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。•讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件：1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。•通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。6.2一维连续系统振动弦振动•从有限多自由度模型到无限多自由度模型－连续系统张力为T的弦振动－多自由度模型•根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分方程为•假定作微小振动，因此•考虑到Dxi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中张力可近似看做常量T。•并且有•在弦的两端有y0＝yn+1＝0。•写成矩阵形式，有•将上式两端向除以Dxi，得•随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连续函数y(x,t)。同时，•分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度上的载荷。•于是方程(6.2.4)演化为一阶偏微分方程：•其边界条件y(0,t)=y(l,t)=0•可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的响应，这种做法在实际问题中常常用到。•若把弦作为连续系统，精确地确定系统的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。弦的振动微分方程及其自由振动•直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。如图在弦作微振动假设下，有：考虑到微元段在水平方向的平衡，弦中张力可近似看成是常量T。•微元段的运动微分方程为•与方程(6.2.5)完全相同。讨沦无阻尼自由振动的情形。此时p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可写成称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。要求给出系统的边界条件和初始条件•方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。•波动解将弦的运动表示为y(x,t)=f1(x－ct)+f2(x+ct)•即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加。•振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布。•两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。•波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；•振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成。•对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。•在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。•下面寻求方程(6.2.6)的振动解。•观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而变化。•用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数和时间函数的乘积。•即y(x,t)=X(x)Y(t)(6.3.9)•其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到•上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于同一常数。设这一常数为a，有•只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定振动运动。所以，取a=－p2•于是，上述方程改为•方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分别是Y(t)=Asinpt+Bcospt(6.2.12)X(x)=Csinbt+Dcosbt(6.2.12)•其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条件(6.2.7)，得X(0)=0(6.2.14)X(l)=0(6.2.15)•于是有D=0•而由条件(6.2.15)可得sinbl=0(6.2.16)•上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值bi•所以系统的各阶固有频率为：•与其相应的特征函数，亦称振型函数为•弦对应于各阶固有频率pi的主振动为•弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即有•其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。•将初始条件(6.2.8)代入上式，有•三角函数族具有正交性，即•由此可得•由以上讨论可见，张紧的弦的自由振动除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动亦称谐波振动。•例求前图(a)所示弦的前3阶固有频率和相应的振型函数。•解将i＝1，2，3分别代入式(6.2.18)和(6.2.19)中，有•系统的前3阶振型函数如下图所示。讨论：(1)弦的各阶固有频率由低到高成倍增长，相应的波形的波数逐渐增多。振幅始终为零的点称为节点。节点数随振型阶数的增向而逐一增加。一般地说，第i阶振型有i－1个节点。(2)如果将弦缩聚成三自由度系统(如下图所示)，用离散系统的振动分析方法，可以得到系统前3阶固有频率为•与弹性体的分析结果比较，基频的误差为2.6%，一阶主振型也较好地接近一阶振型函数X1(x)，随着阶次的增加，误差增大。6.3导致一维波动方程的其它振动系统比较典型的有：•杆的纵向振动•轴的扭转振动。杆的纵向振动•以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻的纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二定律，它的运动方程为•将它代入式(6.3.1)并化简，得•可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变量法。•将u(x,t)表为：u(x,t)=X(x)U(t)(6.3.5)•按上类似的方式可得：•其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条件确定。•典型的边界条件有以下几种：(1)固定端该处纵向位移为零，即有u(x,t)=0,x=0orl(2)自由端该处轴向内力为零，即有(3)弹性支承设杆的右端为弹性支承(如图(a))，则此处轴向内力等于弹性力，即(4)惯性载荷设杆的右端附—集中质量块(图(b))，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性力，即•例一匀质细直杆的左端固定，右端通过弹簧与固定点相连(如上图(a))。试推导系统的频率方程。解杆在两端的边界条件可表示为u(0,t)=0和即•将此边界条件代入振型函数X(x)，(式(6.3.7))中，可得•由此可知，系统的频率方程为•对应给定的a值，不难找到各固有频率pi的数值解，而与各个pi相应的振型函数为轴的扭转振动•长为l的等截面直园轴。设轴单位体积的质量为r，圆截面对其中心的极惯性矩为Ip，材料剪切弹性模量为G。•假定轴的横截面在扭转振动中保持为平面作整体转动。以q(x,t)表示轴上x截面处在t时刻相对左端面的扭转角。•为推导轴扭转振动的微分方程，从其中截取一微元段如上图。列出运动微分方程为•其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力学知，代入式(6.3.8)，整理得•其中c2=G/r。可见轴的扭转振动微分方程仍为一维波动方程。•常见的边界条件有以下几种：(1)固定端该处转角为零，即有q(x,t)=0，x=0orl(2)自由端该处扭矩为零，即(3)弹性支承若轴的右端通过刚度为Kt的扭簧与固定点相连，则有(4)惯性载荷若轴的右端附有一圆盘，则有上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量。例设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图所示。圆盘对转轴的转动惯量力J0，试考察这—系统的扭振固有频率与振型函数。解设轴的扭转振动可表为q(x,t)=X(x)Q(t)且有Q(t)=Asinpt+BcosptX(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c)轴在左端有u(0,t)＝0，轴的右端有以上边界条件也可表示为由上二式可得或写成btanb=a(c)其中b=pl/c,a=Iprl/J0式(c)即轴系的特征方程。a的物理意义为轴的转动惯量与园盘转动惯量之比。对于给定的a值，不难找出轴系固有频率的数值解。在实用上，通常基频振动最为重要。其对应于基频特征值b1。•注意，当a取小值时，b1亦为小值。如近似地取tanb=b，则式(c)化简为b2=a(d)可写成p2=c2rIp/(J0l)=GIp/(J0l)•GIp/l就是轴的扭转弹簧常数，上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。•可看到，当a＝0.3时，由上式给出的固有频率近似值的误差约为5%。进一步的近似可取tanb≈b+b3/3，这时有即有再将式(d)中的b2代入上式右端。可得或写成(e)•上式也就是将轴转动惯量的1/3加到圆盘后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。它和瑞利法所得的结果相一致。•可看到，当a＝1时，用式(e)所得的基频近似值的误差还不到1%。•所以，只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那末计算基频近似式(e)在实用上已足够准确。一维连续弹性系统的强迫振动•强迫振动响应总是工程实际所关心的。•连续介质的弹性系统强迫振动响应也是建立在自由振动分析的基础上，即在获得了对该系统的特征值bi和振型函数Xi(x)的基础上。•下以一个例子来说明过程。例考察左端固定、右端附有质量M的杆，设AE为常数，初始条件为零，质量M上作用有谐波力F(t)=F0sinwt。解：由题意有(a)设主振动为(b)uuAAEFtxltx22022sin()rwiiiiiiuxtXxUtAxUta(,)()()sin()w•这里的wi，Xi(x)分别为前(c)，(d)所给，Xi(x)中Ai由(e)的归一条件定出。•将(b)代入(a)，两边前乘Xj(x)并沿杆长积分，注意(e)，(f)及对函数的积分性质，有iiiiiiiiiUUXlMXlUEAXlUXlFt20()(()())()sinww因为由特征方程，有Mw2X(l)=EAX’(l)，就有iiiiMXlUMXlU2()()wiiiiiiUUXlFtAlFta200()sinsinsinlijijijijXAXdxMXlXlij01()()0rljijiiijXEAXdxXlEAXl20()()()wiiiaEllawariiiXxAxai()sin1,2,...w(c)(d)(e)(f)最后iiiiAFUtltai022()sinsin1,2,...iiiiiiiiiiAuxtFtlxaaAFtxl2022120221(,)sinsinsinsinsinsin6.4梁的弯曲振动•梁弯曲振动的运动方程–考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动;–假定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；–还假定梁的长度与截面高度之比大于10。•如下图设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均为常数，建立如上图所示的坐标系。•根据材料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响；•这种梁称做欧拉—贝努利(Euler-Bernoulli)梁。•梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示。•在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t，此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受力情况。微元段沿y方向的运动方程为•忽略转