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七年级第一学期数学期末复习（三）一元一次方程单元复习与巩固（4课时）一、知识网络二、学习目标：1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。2、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。3、了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。4、能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。三、教学重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题四、教学难点：一元一次方程的解法，列方程解应用题五、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解要点诠释：（1）一元一次方程必须满足的3个条件：只含有一个未知数；未知数的次数是1次；整式方程．（2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：方程变形——解方程的重要依据1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么2、分数的基本的性质:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为的形式：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。知识点三：解一元一次方程的一般步骤：1、解一元一次方程的基本思路：通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x＝a的形式。2、解一元一次方程的一般步骤是：变形名称具体做法变形依据去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项法则系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程等式基本性质2的解x＝注意：(1)解方程时应注意：①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。(2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况：①移项时忘记改变符号；②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号；3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a≠0时，方程有唯一解；(2)a=0，b=0时，方程有无数个解；(3)a=0，b≠0时，方程无解。知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。注意：(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x的代数式表示。(2)解应用题时，不能漏掉“答”，“设”和“答”中都必须写清单位名称。(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。知识点五：常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量②总量＝倍数×倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度顺流的距离＝逆流的距离(4)劳力调配问题从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”“少”等关键词语(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价商品利润率＝×100％售价＝进价×(1＋利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数×(1－利息税率)(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x)(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数知识点六：整式、等式与方程的关系1、正确理解代数式、等式和方程的概念代数式：像－1,0，a，－2x＋5等，这些用运算符号把数或表示数的字母连接成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11，等都是方程。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。2、整式、等式与方程的区别和联系区别：①定义不同。②从是否含有等号来看。方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。③等式含有“＝”，表示左右两边相等，方程是个特殊的等式，即其中必须含有未知数。所以有：方程是等式，但等式却不一定是方程。联系：①当含字母的某一个代数式取某一个特定的值时，这个特定的值就和这个代数式构成了一个等式，即这个等式就是方程。如：要使代数式5x＋1的值等于0，即求方程5x＋1＝0的解。②当两个整式中的字母取特定的值，使这两个整式的值相等时，也构成一个方程。如：要使整式x＋5的值与整式－x－5的值相等，即求方程的解。③当含有字母的整式的运算结果等于另一个整式时，也构成方程。如：要使整式x－4的值比的值大3，即求方程的解。通过上面的描述，我们知道，方程是由整式构成的，但整式不是方程。六、规律方法指导解一元一次方程的注意事项：1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除号，去分母后分子各项应加括号；3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。列方程解应用题的注意事项：列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。思想方法总结本章主要的方法有：化归的方法，分析法，综合法和方程的思想.1．化归方法，所谓化归即转化，是指求解数学问题时，将较难或较繁或未知的问题进行变换，使之化难为易，化繁为简，化未知为已知，从而使问题得以解决的思维方法，本章中将一元一次方程逐步变形、化简转化为ax=b(a≠0)的形式求解的过程就属于转化的方法.2．分析法是从未知，看已知，逐步推向已知，即执果索因。3．综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因导果。研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上综合，列方程解应用题就是运用了分析法和综合法相结合的数学方法。4．方程的思想，方程思想设未知数（把它看成以存在的数），让代替未知数的字母和已知数一样参与运算，列方程解应用题。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用.。七、典型例题一、概念类例1、在下列式子(1)2x+3；(2)1-x=x-2；(3)2x-y=6；(4)x+=2中一元一次方程为______个．分析：一元一次方程应满足：①等式；②一元：一个未知数；③一次：未知数的次数是1；④整式：方程中的未知数不能出现在分母中。(1)不是等式，(2)满足，(3)含有两个未知数；(4)未知数出现在分母中。答案：1例2、已知关于x的方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17的解相同,则a=_________.分析：首先方程2x+3=-17的解为x=-10，方程ax+5=-2-3a与方程2x+3=-17同解，所以方程ax+5=-2-3a的解为x=-10，那么-10a+5=-2-3a成立，这是关于a的一元一次方程，进而可求得a。答案：1二、解法类例3、下列方程的变形是否正确？如果不正确，指出错在何处，并写出正确的变形.（1）由3+x=-6,得x=-6+3.答：不正确.错在数3从方程的等号左边移到右边时没有变号，正确的变形是由3+x=-6，得x=-6-3.（2）由9x=-4,得.答：不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.正确的变形是由9x=-4,得.（3）由5=x-3,得x=-3-5.答：不正确.错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是由5=x-3，得5+3=x,即x=5+3.（4）由，得3x-2=5-4x+1.答：不正确，没有注意到分数中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.正确的变形是由，得3x-2=5-(4x+1)，进而得3x-2=5-4x-1.（5）由，得2(x+2)-3(5x-7)=1.答：不正确.错在当方程两边同乘以12时，等号右边的1漏乘12.正确的变形是由，得2(x+2)-3(5x-7)=12.例4、解方程分析：可将每一项里分母、分子中的小数化为整数，然后再约分，或分子、分母直接约分.解：各项分别化简得，(8x-3)-(25x-4)=12-10x8x-3-25x+4=12-10x,-17x+1=12-10x,-17x+10x=12-1,-7x=11,.∴原方程的解为.三、应用类需要掌握以下几类题型：商品销售、银行存贷款、积分、行程、工程、数字问题、日历、比例分配、方案选择。希望同学们能根据下面的例子掌握此类型题目的解题思路。1.商品销售此类问题主要涉及的关键量：进价，标价，实际售价，利润，利