数列通项公式的求法习题

数列通项公式的求法累加法形如1()nnaafn(n=2、3、4…...)且(1)(2)...(1)fffn可求，则用累加法求na。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.在数列{na}中，1a=1，11nnaan(n=2、3、4……)，求{na}的通项公式。例2．在数列{na}中，1a=1，12nnnaa(nN),求na。一、累乘法形如1()nnafna(n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)fffn可求，则用累乘法求na。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{na}中，1a=1，1nnana，求na。例4．已知数列{na}满足1a=23，11nnnaan，求na。三、构造等比数列法原数列{na}既不等差，也不等比。若把{na}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出na。该法适用于递推式形如1na=nbac或1na=nbafn或1na=nnbac其中b、c为不相等的常数，fn为一次式。例5、（06福建理22）已知数列{na}满足1a=1，1na=21na(nN)，求数列{na}的通项公式。例6、（07全国理21）设数列{na}的首项1(0,1)a，na=132na，n=2、3、4……（）求{na}的通项公式。例7、（07全国理22）已知数列{na}中，1a=2，1na=(21)(2)nanN（）求{na}的通项公式。例8、已知数列{na}中，1a=1，1na=23nna，求数列的通项公式。例9、（07天津文20）在数列{na}中，1a=2，1na=431nan，求数列的通项na。四、构造等差数列法数列{na}既不等差，也不等比，递推关系式形如11()nnnababfn，那么把两边同除以1nb后，想法构造一个等差数列，从而间接求出na。例10．（07石家庄一模）数列{na}满足1221nnnaa(2)n且481a。求(1)1a、2a、3a(2)是否存在一个实数，使此数列{}2nna为等差数列？若存在求出的值及na；若不存在，说明理由。例11、数列{na}满足1na=12(2)nna(nN)，首项为12a，求数列{na}的通项公式。例12．数列{na}中，1a=5，且1331nnnaa（n=2、3、4……），试求数列{na}的通项公式。例13、（07天津理21）在数列{na}中，1a=2，且11(2)2nnnnaa（nN）其中＞0，()求数列{na}的通项公式。五、取倒数法有些关于通项的递推关系式变形后含有1nnaa项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以1nnaa后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出na。例14、已知数列{na}，1a=1，11nnnaaanN，求na=？例15、（06江西理22）已知数列{na}满足132a，且11321nnnnaaan（2nnN）()求数列{na}的通项公式。例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{na}满足：13a，且11122nnnnnnaaaaaanN求数列{na}的通项公式。六．利用公式1(2)nnnaSSn求通项有些数列给出{na}的前n项和nS与na的关系式nS=()nfa，利用该式写出11()nnSfa，两式做差，再利用11nnnaSS导出1na与na的递推式，从而求出na。例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{na}的前n项和为nS满足1S＞1且6nS=(1)(2)nnaan∈N求{na}的通项公式。例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{ka}的前k项和为kS，且kS=112kkaa(k∈N)其中1a=1，求数列{ka}的通项公式。例19.(07福建文21)数列{na}的前n项和为nS，1a=1，12nnaS(n∈N),求{na}的通项公式。例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{na}的前n项和14122333nnnSa(n=1、2、3……)求{na}的通项公式。