微分几何office2003

微分几何几何学解析几何微分几何其它几何初等几何用微积分方法研究几何图形的性质包括平面几何和立体几何用代数的方法研究图形的几何性质代数几何分形几何计算几何…………蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如a、r(u,v)、A等粉红色字母代表特殊常数，如圆周率p和自然对数的底数e等黄色字母代表特殊函数（如正弦函数sinq等）、特殊空间（如欧氏空间R3、平面R2和实数集R）、特殊向量（如单位坐标向量，如i、j、k）或者变换群字母右上角的撇号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求导数符号说明第一章预备知识第二章曲线论第三章曲面的基本理论第四章黎曼曲率张量与测地线例题选讲主目录主目录第一章约16学时第二章约12学时第三章约24学时第四章约18学时例题选讲约2学时机动约2学时总共大约74学时学习进度表学时分配第一章预备知识微分几何第一章预备知识向量代数向量分析曲线与曲面的概念等距变换本章补充习题第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的．本章的重点是第三节：曲线与曲面的概念．这一节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切平面方程．向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉格朗日公式是这一节的重点．向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解．返回章首1.1向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计算重点：拉格朗日公式返回章首集合R3={(x,y,z)|x,y,z∈R}称为三维实向量空间，其元素(x,y,z)叫做一个向量。aijkO返回章首1.1向量代数-向量例如i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)是R3的三个向量。除了i、j、k这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a、r、a、b等。几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。再设a=(x,y,z)，l∈R，则l与a的数乘定义为la=lxi+lyj+lzk=(lx,ly,lz).设a1=(x1,y1,z1)，a2=(x2,y2,z2)，则它们的和定义为a1+a2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2).a1a2a1+a2ala返回章首1.1向量代数-线性运算设i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)，则任意向量a=(x,y,z)可表示为a=xi+yj+zk．（如图）aijkOzkyjxixi+yj=xi+yj+zk返回章首1.1向量代数-向量设ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是R3中的两个向量，它们的内积定义为a1⋅a2=x1x2+y1y2+z1z2．内积具有如下性质：正定性．a⋅a≥0，等式成立当且仅当a=0；对称性．a⋅b=b⋅a；线性性．a⋅(kb+hc)=ka⋅b+ha⋅c．向量a的长度为|a|=(a⋅a)1/2；长度为1的向量叫单位向量．返回章首1.1向量代数-内积1.1向量代数-两个不等式定理.对任意的两个向量a、b∈R3有下面两个不等式成立：许瓦滋不等式a⋅b≤|a|⋅|b|．闵可夫斯基不等式|a+b|≤|a|+|b|．这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是a∥b．返回章首1.1向量代数-两向量的夹角向量a与b的夹角为如果两个向量的夹角是p/2，就称这两个向量相互垂直或正交．因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零．arcco.|s|||qabab由许瓦兹不等式可知|cosq|≤1.返回章首1.1向量代数-距离两个向量a、b作为R3的点，它们之间的距离定义为d(a,b)=|a–b|．在R3上装备了这样的距离函数之后就叫欧氏空间．距离具有如下性质：正定性．d(a,b)≥0，等式成立当且仅当a=b；对称性．d(a,b)=d(b,a)；三角不等式．d(a,b)≤d(a,c)+d(c,b)．返回章首1.1向量代数-向量积aba×bq伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量a朝向量b旋转一个较小的角度（小于180º）到达b，则大拇指所指的方向就是a×b的方向．（如图）设向量a、b的夹角为q，则它们的向量积（也叫叉积）a×b是这样一个向量，其长度为|a×b|=|a|⋅|b|sinq，方向满足右手法则：返回章首1.1向量代数-向量积的性质根据向量积的定义，我们有i×j=k,j×k=i,k×i=j.反交换律：a×b=–b×a．（见下图）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c.aba×babb×a返回章首1.1向量代数-向量积的计算公式12111222xyzxyzaaijk注意：|a×b|等于由a和b张成的平行四边形的面积．（如图）设ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是R3中的两个向量，则有：abq|a|sinq|a|⋅|b|sinq|a×b|返回章首1.1向量代数-混合积三个向量a、b、c的混合积定义为(a,b,c)=(a×b)⋅c．向量的混合积满足轮换不变性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如(a,b,c)=–(c,b,a)，等等.返回章首注意：|(a,b,c)|等于由向量a、b、c张成成的平行四面体的体积．（如图）bacq|a×b|q|c|cosqa×b|(a,b,c)|=|(a×b)⋅c|=|a×b||c|cosq=平行四面体的体积返回章首1.1向量代数-混合积的几何意义1.1向量代数-混合积的计算公式设ai=(xi,yi,zi)（i=1,2,3）是R3中的三个向量，则有：两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零．111123222333(,,).xyzxyzxyzaaa返回章首1.1向量代数-拉格朗日公式设a、b、c、d是R3的四个向量，则特别地有()()acadabcdbcbd2222||||||().aaababababbabb()()()().acbdadbc返回章首看证明练习题1．证明(a×b)×c=(a⋅c)b–(b⋅c)a（提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式．返回章首1.2向量分析内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则重点：链式法则返回章首1.2向量分析-向量函数的极限设r(t)是一个向量函数，a是常向量，如果对任意的e0，存在d0，使得当0|t–t0|d时，|r(t)–a|e成立，则称a是r(t)当t趋向于t0时的极限，记为,或者记为r(t)→a(当t→t0)．0lim()tttra一元向量函数是形如r(t)=(x(t),y(t),z(t))的向量，其中x(t)、y(t)、z(t)是普通的一元函数，叫该向量函数的分量函数．返回章首1.2向量分析-向量函数极限的计算这个定理表明对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限．这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限．定理.设r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a=(x0,y0,z0)，则0lim()tttra00lim(),ttxtx00lim(),ttyty00lim().ttztz当且仅当返回章首1.2向量分析-向量函数的极限的性质推论.（极限的运算性质）设当t→t0时，有r(t)→a，s(t)→b，l(t)→c，则我们有：r(t)±s(t)→a±b，l(t)r(t)→ca．r(t)⋅s(t)→a⋅b．r(t)×s(t)→a×b．返回章首1.2向量分析-向量函数的连续性如果当t→t0时有r(t)→r(t0)成立，则称向量函数r(t)在t0处连续；如果r(t)在它的定义域内的每一点都连续，则称r(t)是连续函数．连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的．r(t)=(x(t),y(t),z(t))在t0处连续的充分必要条件是每个分量x(t)、y(t)、z(t)都在t0处连续．返回章首1.2向量分析-一元向量函数的导数显然，若r(t)在一点t0处可导，则它在该点处必定连续．存在，则称向量函数r(t)在t0处可导，而该极限就叫r(t)在t0处的导数，记为r'(t0)．如果r(t)在它的定义域内处处可导，则称r(t)可导，此时r'(t)叫r(t)的导函数（也简称导数）．设r(t)是一元向量函数．如果极限000()()limttttttrr返回章首1.2向量分析-向量函数导数的性质向量函数r(t)=(x(t),y(t),z(t))的导数为r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))．设l是普通函数，r、s、u都是向量函数，则(lr)'=lr'+l'r；(r±s)'=r'±s'；(r⋅s)'=r'⋅s+r⋅s'；(r×s)'=r'×s+r×s'；(r,s,u)'=(r',s,u)+(r,s',u)+(r,s,u')．返回章首可导的向量函数r(t)具有固定长度的充要条件是r'(t)垂直于r(t)．可导的向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r'(t)平行于r(t)．1.2向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数返回章首看证明1.2向量分析-一元向量函数的链式法则定理.（一元向量函数的链式法则）设r(u)可微的向量函数，u=u(t)是可微的普通函数，则复合函数r(t)=r(u(t))也可微，并且ddd.dddututrr返回章首1.2向量分析-二元向量函数的偏导数设r(u,v)是二元向量函数，如果极限存在，则称它为函数r(u,v)在点(u0,v0)处关于u的偏导数，记为ru(u0,v0)；同样，我们可以定义关于v的偏导数rv(u0,v0)．二元向量函数是形如r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))的向量，其中x(u,v)、y(u,v)、z(u,v)是普通的二元函数．00000(,)(,)limuuuvuvurr返回章首1.2向量分析-二元向量函数的微分返回章首设r(u,v)是二元向量函数，令r=r(u0+u,v0+v)–r(u0,v0).如果存在向量a、b使r=au+bv+o[(u)2+(v)2]1/2,则称r(u,v)在点(u0,v0)处可微，而au+bv就叫r(u,v)在点(u0,v0)处的微分，记为dr(u0,v0)=au+bv．r的微分简记为dr=au+bv或dr=adu+bdv.定理.如果r是可微向量函数，则dr=rudu+rvdv.返回章首1.2向量分析-微分的计算1.2向量分析-二元向量函数的链式法则,suvuvssrrr.tuvuvttrrr定理.（链式法则）设r(u,v)可微．如果u=u(s,t)和v=v(s,t)有连续偏导数，则返回章首1.2向量分析-向量函数的积分其中a=t0t1⋅⋅⋅tk-1tk=b是区间[a,b]的分点，xi是区间(ti-1,ti)内任一点，lk是定义如下：11,,max||.kiiikttl101()dlim()(),kkbiiiaittttlrr向量函数r(t)在区间[a,b]上的积分定义为：返回章首向量函数的积分就是将其每个分量进行积分．()d()d()d()d.bbbbaaaattxttyttzttjrik定理.设r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，则有返回章首1.2向量分析-向量函数积分的计算1.2向量分析-向量函数的积分的性质d()d().dtassstrr()d()d;bbaattttcrcr()d()d;bbaattttcrcr()()d()d()d;bbbaaatttttttrsrs()d()d;bbaacttcttrr()d()d()d;bcbaacttttttrrr设r(t)、s(t)是向量函数，c是常向量，则有（c