矩阵论翻译论文

1矩阵论-论文翻译学号：2016110513姓名：孟旭阳原文：GenericuniquenessofastructuredmatrixfactorizationandapplicationsinblindsourceseparationIgnatDomanovandLievenDeLathauwer,Fellow,IEEE，6Jan2016结构化矩阵分解的通用唯一性和盲源分离中的应用摘要-代数几何，虽然在信号处理中很少探索，提供了非常方便调查在广泛的应用中的通用属性的工具。通用属性是拥有“几乎无处不在”的属性。我们提出一组足以证明某一结构化矩阵分解的通用唯一性的条件。这组条件可以用作不同设置中的通用唯一性的检查清单。我们详细讨论两个具体应用。我们为联合矩阵对角化提供了一个宽松的通用唯一性条件，这与未确定情况下的独立分量分析相关。我们给出了最近提出的一类依赖于温和源模型的确定性盲源分离方法的通用唯一性条件。对于感兴趣的读者，我们提供了一些直观的结果如何连接到他们的代数几何根。索引术语-结构化矩阵分解，结构化秩分解，盲源分离，到达方向，唯一性，代数几何I、引言A、盲源分离和唯一性矩阵分解X=MST在盲源分离（BSS）上下文中是众所周知的：ST和X的行分别表示未知的源信号及其观察到的线性混合。BSS问题的任务是从X估计源矩阵S和混合矩阵M.如果在矩阵M或S上没有可用的先验信息，则不能从X中唯一地标识它们。实际上，对于任何非奇异矩阵T，X=M𝑆𝑇=(MT)(𝑆𝑇−𝑇)𝑇=𝑀̅𝑆̅𝑇（1）应用可以涉及对M和/或S的特定约束，使得在所得到的结构化矩阵的类中应用可以涉及对M和/或S的特定约束，使得在结果矩阵的结果类中（1）的解变成唯一的。常用的约束包括稀疏[1]，常数模数[2]和Vandermonde结构[3]。足够的唯一性条件可以是确定性的或通用的。确定性条件涉及特定矩阵M和S.通用条件涉及一般可预期的情况；泛型属性是除了一组度量0之外的所有地方的属性。（在下面的I-C子节中将给出形式定义。）为了说明确定性和通用唯一性的含义，让我们考虑分解（1），其中X∈𝐶𝐾∗𝑁，𝑀∈𝐶𝐾∗𝑅，通过对指数信号𝑧1𝑡−1，……，𝑧𝑅𝑡−1采样获得的列集S∈𝐶𝑁∗𝑅，在t=1，……，N；（𝑆）𝑛𝑟=（𝑧𝑟𝑛−1），即S是Vandermonde矩阵。分解（1）是唯一的（直到不重要的不确定性）的确定性条件是[3]：（i）Vandermonde矩阵S具有严格比列更多的行，并且其生成器𝑧𝑗是不同的，（ii）矩阵M是列满秩矩阵。（在本文中，我们说如果K×R矩阵的列秩为R，则K×R矩阵具有满列秩，这意味着K≥R。）一个通用变体是：（i）Vandermonde矩阵S具有NR，（ii）（非结构化的）矩阵M具有K≥R。事实上，除了一组测量0，在这些维度条件下，确定性条件无处不在（其包含重合发生器𝑧𝑟的特定情况和M的列不是线性独立的情况，尽管M是正方形或甚至高的事实）。注意，通用属性不允许对特定矩阵进行声明，他们只显示一般情况。如前所述，BSS具有许多变体，其在所施加的约束的类型上不同。不同的约束通常意味着不同的确定性唯一性条件，并且这些约束的推导是难以自动化的工作。在本文中，我们2专注于通用唯一性条件。我们提出了一个框架，通用的唯一性可以在广泛的情况下进行调查。事实上，很明显，如果我们限制自己的通用唯一性，条件的推导在某种程度上可以自动化。我们讨论两个具体的应用，可以作为例子。我们的方法建立在代数几何的结果上。代数几何已经在系统理论中使用[4]，[5]，它也通过张量分解的通用唯一性直接应用于基于张量的BSS[6]-[8]进一步连接代数几何与信号处理中的应用。我们的论文为进一步连接代数几何与信号处理中的应用作出了贡献。这项工作由研究委员会鲁汶：C1项目c16/15/059-nD，CoEPFV/10/002（OPTEC）和PDM博士后授权，由FWO：项目G.0830.14N，G.0881.14N，比利时联邦科学政策办公室：欧盟的IUAPP7（DYSCOII，动态系统，控制和优化，2012-2017）：导致这些结果的研究得到了欧洲研究委员会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC高级授权：BIOTENSORS（编号339804）。本文件仅反映了作者的观点，联盟不对可能对所包含的信息进行任何使用负责。作者是与集团科学，工程和技术，KU鲁汶-Kulak，E。Sabbelaan53，8500Kortrijk，比利时。LievenDeLathauwer也有电气工程部ESAT/STADIUSKULeuven，KasteelparkArenberg10，bus2446，B-3001Leuven-Heverlee，比利时（电子邮件：[e-mail];[e-mail]）。B、注释在整篇论文中，F表示实数或复数的场;粗体小写字母表示向量，粗体大写字母表示矩阵；矩阵A的列和向量b的条目分别由𝑎𝑗和𝑏𝑗表示；上标。∗，。𝑇和。𝐻分别用于共轭，转置和厄米转置；“”表示Kronecker产品。C、本文的问题和组织声明结构化矩阵分解。在本文中，我们考虑以下K×N矩阵Y的结构化因式分解，Y=A（z）𝐵（𝑧）𝑇，z∈Ω（2）其中Ω是𝐹𝑛的子集，并且A（z）和B（z）是Ω上已知的定义的矩阵值函数。W.l.o.g.我们可以假设参数向量z=[𝑧1，…，𝑧𝑛]𝑇是有序的，使得B（z）取决于最后的s≤n条目，而A（z）取决于m≥0条目，不一定是第一个或最后一个。那是在1≤𝑖1𝑖2⋯𝑖𝑚≤𝑛上，A（z）=A（𝑧𝑖1，…，𝑧𝑖𝑚），B（z）=（𝑧𝑛−𝑠+1，…，𝑧𝑛）。通常，允许用于参数化A和B的条目重叠，使得m+s≥n。对应于m+s=n，A和B依赖于分离的参数集的情况；在这种情况下，A严格取决于z的前m个条目。我们的研究限于一般具有完整列秩的K×R矩阵A（z）。我们不对A（z）的形式做任何其他假设。特别地，我们不对条目如何依赖于z施加限制。然而，我们更明确的N×R矩阵B（z）。我们假设每个列𝑏𝑟（z）由l个参数生成，这些参数独立于用于生成其他列的参数，即B（z）=[𝑏1(𝜁1)，…，𝑏𝑅(𝜁𝑅)]，𝜁1，…，𝜁𝑅∈𝐹𝑙。注意，独立性意味着s=Rl，并且［𝜁1𝑇，…，𝜁𝑅𝑇］𝑇和［𝑧𝑛−𝑠+1，…，𝑧𝑛］𝑇具有相同的索引排列。为了说明的目的，让我们首先考虑一个矩阵B（z）类，它小于我们在通用唯一性条件的导出中能够处理的类。也就是说，让我们首先考虑矩阵𝐵𝑟𝑎𝑡（z），其中通过评估已知的有理函数𝑝𝑛（∙）𝑞𝑛（∙）上的获得第n行，𝜁1，…，𝜁𝑅∈𝐹𝑙，1≤n≤N，3𝐵𝑟𝑎𝑡（z）=[𝑝1（𝜁1）𝑞1（𝜁1）⋯𝑝1（𝜁𝑅）𝑞1（𝜁𝑅）⋮⋮⋮𝑝𝑁（𝜁1）𝑞𝑁（𝜁1）⋯𝑝𝑁（𝜁𝑅）𝑞𝑁（𝜁𝑅）]，𝑝1，…，𝑝𝑁，𝑞1，…，𝑞𝑁是l个变量中的多项式。注意，我们通过N个函数𝑝1（∙）𝑞1（∙），…，𝑝𝑛（∙）𝑞𝑛（∙）在一个特定点𝜁𝑟处取得的值来模拟𝐵𝑟𝑎𝑡的列进行建模。另一方面，𝐵𝑟𝑎𝑡的行被建模为由R点𝜁1，…，𝜁𝑅处的一个特定函数𝑝𝑛（∙）𝑞𝑛（∙）取得的值。我们研究的N×R矩阵B（z）比𝐵𝑟𝑎𝑡（z）的有理结构更通用，因为我们另外允许在𝜁1，…，𝜁𝑅的（可能是非线性的）变换；形式上，我们假设B（z）的列是形式的已知向量函数的采样值b（ζ）=[𝑝1（𝑓(𝜁)）𝑞1（𝑓(𝜁)），…，𝑝𝑁（𝑓(𝜁)）𝑞𝑁（𝑓(𝜁)）]𝑇，ζ∈𝐹𝑙（3）在点𝜁1，…，𝜁𝑅∈𝐹𝑙上，即B（z）=[𝑏(𝜁1)，…，𝑏(𝜁𝑅)]=[𝑝1（𝑓（𝜁1））𝑞1（𝑓（𝜁1））⋯𝑝1（𝑓（𝜁𝑁））𝑞1（𝑓（𝜁𝑁））⋮⋮⋮𝑝𝑁（𝑓（𝜁1））𝑞𝑁（𝑓（𝜁1））⋯𝑝𝑁（𝑓（𝜁𝑁））𝑞𝑁（𝑓（𝜁𝑁））]，f（ζ）=（𝑓1(𝜁)，…，𝑓𝑙(𝜁)）∈𝐹𝑙，𝑓1，…，𝑓𝑙是l个变量的标量函数。函数𝑓1，…，𝑓𝑙经受将在定理1中进一步指定的分析假设。虽然我们对定理1的一般结果将根据l个变量的标量函数𝑓1，…，𝑓𝑙，在第III-IV节的应用中我们将只需要利用一个变量𝑓1，…，𝑓𝑙分析函数。进入变换：f（ζ）=f（𝜁1，…，𝜁𝑙）=（𝑓1(𝜁1)，…，𝑓𝑙(𝜁𝑙)）。作为可以如何使用用于B（z）的模型的示例，考虑通过对指数信号𝑒𝑖𝜁1（𝑡−1），…，𝑒𝑖𝜁𝑅（𝑡−1）进行采样而获得的R个向量，𝜁1，…，𝜁𝑅∈R，t=1，…，N。在这种情况下，B（z）是具有单位范数生成器的N×R的Vandermonde矩阵；其第r列为b（𝜁𝑟）=[1，𝑒𝑖𝜁𝑟，…，𝑒𝑖𝜁𝑟（𝑁−1）]𝑇。当f（ζ）=𝑒𝑖𝜁，𝑝𝑛（x）=𝑥𝑛−1，𝑞𝑛（x）=1，在ζ∈R和x∈C时，我们有𝑒𝑖𝜁𝑟（𝑛−1）=𝑝𝑛（𝑓（𝜁𝑟））𝑞𝑛（𝑓（𝜁𝑟））。分解的通用唯一性。我们将因式分解（2）解释为分解成结构化rank-1矩阵的和Y=A（z）𝐵（𝑧）𝑇=∑𝑎𝑟(𝑧)𝑅𝑟=1𝑏（𝜁𝑟）𝑇，z∈Ω，（5）其中𝑎𝑟(𝑧)表示A（z）的第r列。显然，在（5）中，秩-1项可以被任意地置换。当它只受到这种琐碎的不确定性时，我们认为分解（5）是唯一的。我们说如果分解（5）对于z∈Ω的通用选择是唯一的，则它通常是唯一的，即𝜇𝑛{z∈Ω：分解(5)不唯一}=0，（6）其中𝜇𝑛是相对于𝐹𝑛上的Lebesgue度量绝对连续（a.c.）的度量。在本文中，我们给出了多项式p1的条件𝑝1，…，𝑝𝑁，𝑞1，…，𝑞𝑁，函数f和保证分解（5）的Ω集通常是唯一的集合。作为技术假设，在𝜇𝑛（Ω）=0的情况下，条件（6）不能4用于从Ω的子集上推断通用唯一性，因此我们假设𝜇𝑛（Ω）0。组织和结果。在第二节中，我们用一般术语来描述本文的主要结果，即定理1提出了保证结构化分解（5）通常是唯一的条件。定理1的证明在附录A。除了技术推导，附录A为有兴趣的读者提供了高层次推理背后的一些直觉，并与代数几何中的三分法引理连接。在第III-IV节中，我们使用定理1在两个不同应用的上下文中获得新的唯一性结果。这通过首先将特定BSS问题表示为分解（5）来完成检查定理1中的条件列表的形式。第三节涉及独立成分分析中的应用。更准确地说，它涉及未确定情况下的联合矩阵对角化（比观察值的来源更多），并提出了一个新的、宽松的界限，这个基本子问题的解决方案通常是唯一的来源的数量。这个界限是矩阵及其维数的简单表达式。第四节给出了最近引入的一类确定性盲源分离算法的通用唯一性结果，可以看作是使用基本函数的非离散字典的稀疏分量分析的变体。附录B包含第四部分中技术参数的简短证明。论文在第五节结束。II、主结果下面的定理是我们对分解（5）的通用唯一性的主要结果。它表明，一般来说，如果K≥R且R≤𝑁̂−𝑙̂时，就可以唯一地恢复K×N矩阵Y的R结构化秩-1项。这里，𝑁̂≤N是由形式r（x）=[𝑝1（𝑥）𝑞1（𝑥），…，𝑝𝑁（𝑥）𝑞𝑁（𝑥）]𝑇（7）的向量生成的线性向量空间跨度的维度下限{r（x）：𝑞1(𝑥)，…，𝑞𝑁(𝑥)}。（注意，即使当将这种非线性变换用于对b（ζ）进行建模时，r（x）的定义也不涉及非线性变换f。）另一方面，值𝑙̂≤l是对参数化形式（7）的通用矢量实际需要的“自由参数”的