2016年高考复习第51讲-离散型随机变量的分布列、期望与方差教师打印版

湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“一对一”高中数学培优2016高考一轮复习（理科）第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差辅导老师：高考总分750分，高考得分723分的湖南高考状元的数学老师电话：[phone]★★★★★★湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“一对一”第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布．2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题．3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解．【知识要点】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，而每一个值的概率为P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)．则称表为随机变量X的概率分布列．(4)分布列的两个性质①0≤pi≤1，i＝1，2，…，n.②p1＋p2＋…＋pn＝1．2．两点分布如果随机变量X的分布列为(其中0p1)，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布列．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称此分布列：P1Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，Y的方差为DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然EXEY，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，故花店一天应购进17枝玫瑰花．P14湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“一对一”8．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．8.【解析】(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80，当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80，得：y＝10n－80（n≤15）80（n≥16）(n∈N)．(2)(ⅰ)X可取60，70，80，P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.DX＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.(ⅱ)答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为P13为超几何分布列．、4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：(1)均值：称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量ξ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称Dξ＝∑ni＝1(xi－Eξ)2pi为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量ξ与其均值Eξ的平均偏离程度，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的标准差．5．均值与方差的性质(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b．(2)D(aξ＋b)＝a2Dξ．6．基本性质若ξ服从两点分布，则Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．典型例题考点一、超几何分布及其应用例题1.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n10且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于12，求n的值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ.【解析】(1)由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率＝Cn－61C61Cn2＝12（n－6）n（n－1），则12()n－6n()n－1＝12，化简得n2－25n＋144＝0，解得n＝9(舍去)或n＝16，故n＝16.P2湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“一对一”(2)由题意得，ξ的可能取值为0，1，2.则P(ξ＝0)＝C62C122＝522，P(ξ＝1)＝C61C61C122＝611，P(ξ＝2)＝C62C122＝522.∴Eξ＝0×522＋1×611＋2×522＝1.【点评】超几何分布的特征是：(1)样本空间的N个元素可分为两类元素，其中一类元素共M个(M＜N)；(2)从N个元素中取出n个元素，随机变量是这n个元素中含某类元素的个数．考点二、二项分布及其应用例题2.(2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【解析】方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B2，23，X2～B2，25，P37．某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除500元，但每个员工全年最多扣除1000元销售津贴．设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴．7.【解析】用Ai表示一年内该员工第i个季度完成销售任务，由已知有：P(Ai)＝0.8，P(_iA)＝0.2，i＝1，2，3，4，且A1，A2，A3，A4相互独立．(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率为P1＝P(_A1·_A2)＋P(A1·_A2·_A3)＋P(A1·A2·_A3·_A4)＝P(_A1)P(_A2)＋P(A1)P(_A2)P(_A3)＋P(A1)P(A2)P(_A3)P(_A4)＝0.22＋0.8×0.22＋0.82×0.22＝0.04×(1＋0.8＋0.82)≈0.10.(2)设一年内该员工有X个季度完成销售任务，由题设知X服从二项分布B(4，0.8)．一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴，即一年内该员工至少有两个季度没有完成销售任务，故其概率为P2＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－4×0.83×0.2－0.84＝1－2×0.84＝0.18.(3)设一年内该员工扣Y元销售津贴，Y＝0，500，1000.P(Y＝0)＝0.84＝0.4096，P(Y＝500)＝4×0.83×0.2＝0.4096，P(Y＝1000)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝500)＝0.1808.所以EY＝500×0.4096＋1000×0.1808＝385.60，即一年内该员工平均扣385.60元销售津贴．P126．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车湖南理科高考750分得分723分的《状元真功夫》：姚老师电话：[phone]第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差“一对一”首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．6.【解析】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．P11所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝1－23×1－25＝15，P(X＝2)＝23×1－25＝25，P(X＝3)＝1－23×25＝215，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1115，即这两人的累计得分X≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)E(X