2-3逆矩阵

《线性代数》下页结束返回第3节逆矩阵(inversematrix)3.1逆矩阵的定义3.2方阵可逆的充分必要条件3.3可逆矩阵的性质3.4用逆矩阵求解线性方程组下页3.6伴随矩阵的常用性质3.5用逆矩阵求解矩阵方程《线性代数》下页结束返回3.1逆矩阵的概念1212xx3xx-113111121xx解方程组解：将其写成矩阵方程用矩阵F乘上式两边得)2/12/12/12/1(F132/12/12/12/111112/12/12/12/121xx.2,121xx21100121xx2121xx从而得方程组的解:下页那么,F矩阵是怎么得到的呢？第3节逆矩阵逆矩阵概念的引入《线性代数》下页结束返回定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有ABBAE，AB1B1AE于是BB1.EB1(BA)B1B(AB1)BE如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性下页《线性代数》下页结束返回A的逆矩阵记为A1.即若ABBAE，则BA1.定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.可逆矩阵的定义定理1如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1，AB1.如421412311A113214124B可以验证，EBAAB下页故BA1，AB1《线性代数》下页结束返回3.2方阵可逆的充分必要条件A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn定义2由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11a12a1na21a22a2nan1an2annA的代数余子式构成的矩阵A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnA*=下页《线性代数》下页结束返回例1.求110321111A的伴随矩阵A*.解:121213(1)101A同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵111211125*AA11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为111123(1)511A，下页《线性代数》下页结束返回定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以|A|0，即A为非奇异.设A可逆，故|A|·|A1||E|1，使AA1E,即有A1，证：必要性.—A*，1|A|A1定义3对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).下页方阵可逆的充分必要条件《线性代数》下页结束返回a11a12a1na21a22a2nan1an2annA11A21An1A12A22An2A1nA2nAnnAA*|A|E|A|000|A|000|A|充分性.定理2n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.证：—A*，1|A|A1设A非奇异，B—A*1|A|取A(—A*)1|A|则有AB—AA*1|A|注意：—|A|E1|A|=E.同理可证BAE.因此A可逆，—A*.1|A|且A1(即AB=E.)下页《线性代数》下页结束返回—A*.1|A|A1矩阵A可逆|A|0；例2．求矩阵A的逆矩阵.231120051231120051解:因为20，所以A可逆.又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*1075222211，所以—A*1|A|—12A1107522221157/25/211111/21/2.|A|下页《线性代数》下页结束返回讨论：(1)如何求二阶矩阵A的逆矩阵。a11a21a12a22提示：A*A11A12A21A22a22a21a12a11，a11a22a12a21，a11a21a12a22|A|—A*1|A|A1a22a21a12a11—————.1a11a22a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)11111221221000010000,0(1,2,,)00100iinnnnaaaaainaaA《线性代数》下页结束返回推论3设A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=E（或BAE）这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式ABE或BAE即可.则A可逆，且A1=B下页推论1设n阶矩阵A,B满足AB=O，且|A|0，则B=O.推论2设n阶矩阵A,B满足AB=AC，且|A|0，则B=C.《线性代数》下页结束返回例3．设n阶矩阵A满足A22A3EO，证明A为可逆矩阵，并求A1.A22A3E，解:由A22A3EO，有1/3(A22A)E，即1/3(A2E)AE，因此A可逆，且A11/3A2/3E.下页《线性代数》下页结束返回练习解:1.由A2-A-2E=O，得1(),2AAEE所以A-E可逆，正确选项为③．2.由ABC＝E,可得BC为A的逆阵，所以BCA＝E,正确选项为④．1、设n阶矩阵A满足A2-A-2E＝O，则必有()．①A=2E；②A=-E；③A-E可逆；④A不可逆．2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则()．①ACB=E；②CBA=E；③BAC=E；④BCA=E．下页《线性代数》下页结束返回例4.设三阶矩阵A,B满足关系式，且ABABAA61130001400017A求矩阵B.解:由于A可逆，将等式ABABAA61两端乘1A有EBBA61，整理得EBEA6)(1,于是故1112003006()6030020006001BAE116()BAE下页用乘等式两端11()AE得《线性代数》下页结束返回3.3可逆矩阵的性质(3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB)1B1A1.因为(AB)(B1A1)A(BB1)A1AEA1AA1E所以(AB)1B1A1.(2)若A可逆，数k0，则kA可逆，且(kA)1k1A1.(1)若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT)1(A1)T.因为AT(A1)T(A1A)TETE，所以(AT)1(A1)T.(5)|A1|=|A|1.下页《线性代数》下页结束返回应当指出，A，B可逆，A+B未必可逆.即使A+B可逆，但一般地111)(BABA例如600000002,300020001,300020001BABA显然A、B可逆，但因为|A+B|=0,故A+B不可逆.当A=B时，11121)2()(AABA，而不是.2111AAA下页《线性代数》下页结束返回线性方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的矩阵形式为AXb其中111212122212nnnnnnaaaaaaaaaAnxxx21Xnbbb21b当|A|≠0时，A-1存在，用A-1乘AX=b两边，得X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式.下页3.4用逆矩阵求解线性方程组《线性代数》下页结束返回例5.利用逆矩阵求解方程组1231212322322.24xxxxxxxx解:将方程组写成矩阵形式bAX.422,,121011322321bXAxxx计算得01A，故A可逆.因而有bAX1，即112322321432181102153220.1214164426xxx下页《线性代数》下页结束返回A1，313215/2113/2132242331例6．设A，B，C.5231132310求矩阵X使AXBC.5321B1，解:X313215/2113/2132310532121010144.下页XA1CB1为什么？3.5用逆矩阵求解矩阵方程《线性代数》下页结束返回132242331例6．设A，B，C。5231132310求矩阵X使AXBC。解：XA1CB121010144。注：求解矩阵方程1111)3()2()1(CBAXCAXBBAXBXABAXBAX下页《线性代数》下页结束返回1.AA＊＝A＊A＝|A|E;3.若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1.2.若|A|≠0,则A＊＝|A|A-1;下页3.6伴随矩阵的常用性质4.(AB)*=B*A*5.(kA)*=kn-1A*7.若A可逆，则(A-1)*=(A*)-16.(A*)T=(AT)*《线性代数》下页结束返回练习下页1、001021321A*A设，则＝（）．2、AAA21AAA2)3(1设为三阶方阵，为的伴随矩阵，已知，计算361627《线性代数》下页结束返回作业：78页121415:(1)(2)16结束