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暑期加油站1/10平面向量单元测试一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是()A.两个单位向量的数量积为1B.若a·b=a·c且a≠0,则b=cC.D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b2、设e是单位向量,=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是()A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为()A.6B.-6C.3D.-34、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长度的最大值是()A.B.C.D.5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为θ,则tanθ等于()A.B.-C.3D.-37、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、l∈R),且与共线,则k、l应满足()A.k+l=0B.k-l=0C.kl+1=0D.kl-1=08、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为()A.3B.2C.D.9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则()A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=010、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且·=1,则P点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x＞0,y＞0)B.3x2y2=1(x＞0,y＞0)C.x2-3y2=1(x＞0,y＞0)D.x2+3y2=1(x＞0,y＞0)暑期加油站2/1011、已知△ABC中，点D在BC边上，且，若,则r+s的值是()A.B.0C.D.-312、定义a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，则※等于()A.-2B.0C.6.5D.13二、填空题【共4道小题】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是____________.2、若=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数λ=___________.3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________.4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.图2-1①②+③④+⑤-三、解答题【共6道小题】1、如图2-2所示，在△ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a，试判断△ABC的形状.图2-2暑期加油站3/102、如图2-3所示,已知||=||=1，、的夹角为120°,与的夹角为45°,||=5,用，表示.(注：cos75°=)图2-33、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6，1)，=(-2，-3).若有∥,又有⊥,求的坐标.4、已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1)证明a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f(t).暑期加油站4/105、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.6、如图2-4所示,已知△AOB,其中=a,=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的点,且=λa(0＜λ＜1),=μb(0＜μ＜1),设BM与AN相交于P,试将向量=p用a、b表示出来.图2-4暑期加油站5/10平面向量单元测试参考答案一、选择题1.参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中应为;D中b⊥cb·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解析：,所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为||=||=2,所以四边形ABCD是菱形.答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算3.参考答案与解析:解析：∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6.答案：A主要考察知识点:向量、向量的运算4.参考答案与解析:解析：=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ),所以||=≤=.答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5.参考答案与解析:解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6).答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6.参考答案与解析:解析：由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5，|a|=5，|b|=，所以cosθ=.由于θ∈［0，π］,所以sinθ=.所以tanθ==-3.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示7.参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ(λ∈R),即暑期加油站6/10la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算8.参考答案与解析:解析：因为=λ,所以(4，4)=λ(2，2).所以λ=.答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示9.参考答案与解析:解析：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算10.参考答案与解析:解析：设P(x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=x,yB=3y(x＞0,y＞0).又∵·=1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,∴(-x,y)·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x＞0,y＞0).答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算11.参考答案与解析:解析：△ABC中，==()=-，故r+s=0.答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算12.参考答案与解析:解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=-3×2+2×3=0，另一方面·=||||cosθ，∴cosθ=0,又θ∈(0,π)，从而sinθ=1，∴※=||||sinθ=13.答案：D暑期加油站7/10主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示二、填空题1.参考答案与解析:解析：由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15.设a与b的夹角为θ,则cosθ===,所以θ=60°.答案：60°主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解析：由已知可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m［4e1+(λ+3)e2］.所以-1=4m且-4=m(λ+3),消去m得λ=13.答案：13主要考察知识点:向量、向量的运算3.参考答案与解析:解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.答案：120°主要考察知识点:向量、向量的运算4.参考答案与解析:解析：由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足，④不满足.答案：①②主要考察知识点:向量、向量的运算三、解答题1.参考答案与解析:解：∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又b=-(a+c),∴-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算2.参考答案与解析:解：设=λ+μ,则·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.又·=||||cos45°=5cos45°=,∴λμ=,暑期加油站8/10·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又·=||·||cos(120°-45°)=5cos75°=,∴λ+μ=.∴λ=,μ=.∴=+.主要考察知识点:向量、向量的运算3.参考答案与解析:解：设=(x,y),则=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),=(x-2,y-3).又∥及⊥,所以x(2-y)-(-x-4)y=0,①(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.②解得或∴=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4.参考答案与解析:(1)证明：因为a·b=(，-1)·(，)=+(-1)×=0，所以a⊥b.(2)解：由已知得|a|==2，|b|==1,由于x⊥y,所以x·y=0,即［a+(t2-3)b］·(-ka+tb)=0.所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所以k=t(t2-3).由已知k，t不同时为零得k=t(t2-3)(t≠0).暑期加油站9/10主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5.参考答案与解析:解：(1)设c=(x，y),∵|c|=,∴,即x2+y2=20,①∵c∥a,a=(1，2),∴2x-y=0,即y=2x.②联立①②得或∴c=(2,4)或(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0.∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0.①∵|a|2=5，|b|2=,代入①式得a·b=.∴cosθ==-1.又∵θ∈［0，π］，∴θ=π.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6.参考答案与解析:解：由题图可知p=或p=,而=λa，设=m()=m(b-λa),又∵=μb，设=n()=n(a-μb),∴p==λa+m(b-λa)=λ(1-m)a+mb，p==μb+n(a-μb)=na+μ(1-n)b.∵a、b不共线,且表示方法唯一，∴解得∴p=λ［］a+，即p=.暑期加油站10/10主要考察知识点:向量、向量的运算