利用信息技术探究行星运动的周期规律

1利用信息技术探究行星运动的周期规律北京教科院基教研中心邵泽义内容简介：本文提供了利用信息技术开展物理探究学习的一个案例，通过查阅资料获得太阳系九大行星的观测数据，利用Excel和MATLAB工具处理这些数据，得到行星周期与轨道半径关系的表达式，即开普勒第三定律。问题引入：高中物理教材在组织“万有引力定律”的教学内容时，直接引用了开普勒第三定律。开普勒是在天文学家第谷长期天文观测的基础上，经过十余年时间总结得出这一定律的。历史不能再现，但我们能不能利用计算机强大的数值计算功能，在比较短的时间内再发现这一定律呢？研究方案：查阅比较权威的大百科全书，获得太阳系九大行星的周期和轨道半径的观测数据，然后利用Excel的计算功能、图象功能和函数拟合功能，归纳得到行星周期与轨道半径的关系表达式，即普勒第三定律。研究过程1．查阅资料：获得九大行星的天文观测数据如表1所示。表1九大行星数据*行星半长轴r周期T水星57.988金星108.2224.7地球149.6365.256火星227.9687木星778.34331.82土星142710759.424天王星2869.630686.5海王星4496.660189.984冥王星590090473.232*单位：R：×106Km，T：day2．利用Excel尝试T—r是否是正比关系根据表1直接观察T—r的关系，发现随着r的增加T也增加。两者之间是否有一个简单的关系呢？我们期望T—r之间存在最简单的关系，即有形如2T=Kr的表达式，其中K是常量。直接观察证明不了是否有这种关系，可利用EXCEL软件处理。处理方法是计算与描点绘图与相结合，处理结果如表2和图1表示。表2T与r比值表行星半长轴周期T/r水星57.9881.519861831金星108.2224.72.076709797地球149.6365.2562.441550802火星227.96873.014480035木星778.34331.8165.565740717土星142710759.4247.53989068天王星2869.630686.510.69365068海王星4496.660189.98413.38566561冥王星590090473.23215.3344461观察Excel的计算结果，发现T与r的比值是不是常量。T--rgraph010000200003000040000500006000070000800009000010000002000400060008000rT图1行星周期与距离关系图1也表明T—r不是正比关系。以上处理表明，T与r的关系不能用T=Kr来描述。33．利用MATLAB尝试T=Kra的关系较之正比例再复杂一些的关系是T=Kra，其中K、a是常量，假设存在这种关系。由于这是非线性关系，为便于处理，可先用对数把它变成下式：logT=alogr+logK显然logT和logr是线性关系。从原始观测数据出发，利用MATLAB描绘logT与logr的关系图象，如果两者确实呈线性关系，就证明了T=Kra关系成立假设。描点语句如下，所绘关系图象如图2所示。%kaipulelawresearchclearr=[5.7910.814.922.877.8143287450590]*10;%1e6kmt=[88225365687433210759306866019090473];%dayt2=log10(t);r2=log10(r);figure(3)plot(r2,t2,'o-')1.522.533.541.522.533.544.55log(T)log(r)logT-----logrGRAPH图2log(T)与log(r)关系图描点结果表明log(T)与log(r)有良好的线性关系，这就证明了确实有关系T=Kra存在。44．利用MATLAB确定系数K和a前面用描点的方法证明了周期与距离存在关系T=Kra，如果确定了系数K和a，那么我们就“发现”了行星周期定律。利用MATLAB软件，用一次函数去拟和观测数据，就可以得到K和a，拟和语句如下%kaipulelawresearchclearr=[5.7910.814.922.877.8143287450590]*10;%1e6kmt=[88225365687433210759306866019090473];%dayt2=log10(t);r2=log10(r);figure(3)plot(r2,t2,'o-')gridonm=polyfit(r2,t2,1)a=m(1)b=m(2);k=10^b运行结果为a=1.4991k=0.2009可以近似取a=1.5k=0.2，于是有：T=0.2r1.5或T2=0.04r3这就是我们“发现”的普勒第三定律：行星饶太阳运动周期T的平方与椭圆轨道的半长轴r的立方成正比。结果评价采用两种方法比较验证，一是用EXCEL处理观测数据，如表4，观察各行星是否T2=0.04r3的关系；二是利用归纳得到的关系式T2=0.04r3，给出r值，计算T值，观察与实际观测值的离散程度。表3T2/r3比值表行星半长轴周期r3T2T2/r3水星57.988194104.53977440.0399金星108.2224.71266723.36850490.090.0399地球149.6365.2563348071.936133411.94550.0398火星227.968711836763.644719690.0399木星778.34331.816471455917.718764629.860.0398土星142710759.4242905841483115765204.80.0398天王星2869.630686.523630020098941661282.30.0399海王星4496.660189.9849091860602136228341740.0398冥王星590090473.2322.05379E+1181854057090.03995显然，行星饶太阳运动周期T的平方与椭圆轨道的半长轴r的立方成正比，T2/r3=K，K于0.04的近似程度十分好。这证明T2=0.04r3的关系是正确的。利用MATLAB计算的语句和结果如下；%kaipulelawresearchclearr=[5.7910.814.922.877.8143287450590]*10;%1e6kmT=0.2*r.^1.5运行结果为：88224364689434010815307516037490638与观测数据比较：88225365687433210759306866019090473可以进一步用EXCEL处理如表5表4计算值与观测数据的对比观测值88225365687433210759306866019090473计算值88224364689434010815307516037490683差值011-2-8-56-65-184-210相对误差00.440.27-0.29-0.18-0.52-0.21-0.31-0.23有表5可见，计算值与观测数据的近似程度相当好。方法总结对本课题的研究思路、过程和结果总结如下：1．问题：行星饶太阳运动的周期T与其轨道的半长轴r有什么普适关系2．研究方案：利用天文观测数据，借助计算机工具，归纳得出规律3．查阅天文资料，获得相关的观测数据4．假设有关系T=Kr，被否定5．假设有关系T=Kra被肯定6．用拟合法确定K和a，发现规律T2=0.04r37．对所发现的规律进行评价8．总结思考与实践：在网上查询人造地球卫星的有关数据，寻找周期规律参考文献：《物理学史》申先甲主编南京师范大学出版社2001年8月1版《中国大百科全书。天文卷》江椿芳主编中国大百科全书出版社1980年12月1版2004年12月