喷泉设计建模

美丽湖饭店喷泉设计建模摘要喷泉作为一种优美的水景越来越深受人们的喜爱，而拉斯维加斯美丽湖饭店前的喷泉是世界上最为杰出的代表之一，本文针对如何控制喷泉水柱的喷射情况做了深入研究。本文建立了拉斯维加斯美丽湖饭店喷泉喷射高度与水泵功率和喷头之间关系的模型，在水注达到需求的高度的前提下，给出喷泉水泵功率与喷头之间最适宜的搭配。并分析了喷头，喷管设计对喷泉喷射的影响。针对问题a，为了精准的计算出如何让水柱高度超过10m，我们对喷嘴半径、水泵功率与水柱关系之间建立了模型。在建立模型的过程中，我们将喷射出的水柱理想化的化为了许多个截面积和喷头相同的一个个球形水滴，然后对小水滴受力分析，列出小水滴的受力式，再通过Matlab对其积分求出小水滴运动到与水柱高度相同的得到距离时所需的能量，从而求出水柱到达最高点需要的能量，在假设水泵的全部能量传递给水柱的情况下，通过水泵在单位时间所做的功等于从喷头喷出的全部水滴的重力势能和克服阻力所做的功关系式列出水泵功率与喷水嘴半径以及喷射高度的关系模型，计算出喷射高度超过10米所需求的功率和喷头要求，最后用Matlab做出关系式的图形（如图1）。对问题b，设计喷射高度为20，50，100米等喷射高度的水同样运用问题a给出的关系方程得出功率与喷头的最佳搭配，同时分析喷管和喷头设计对水流动能的影响损耗的关系，从而建立能量损耗与喷管的长度、直径的模型，并通过Matlab作图（如图2）分析给出最佳设计意见。关键词：水泵功率；喷头半径；运动分析；能量守恒；喷射高度1问题重述拉斯维加斯美丽湖饭店的音乐喷泉设计，a、如何让水流喷射超过10米的高度；b、如何设计水泵的功率和喷头实现20米，50米，100米等喷射高度的水流，并分、喷管的设计影响。2问题分析随着物质水平的提高，人们日益追求精神上的享受。而音乐喷泉作为一种为了娱乐而创造出来的可以活动美丽水景开始映入人们的眼球。该题旨在通过相关的建模计算来精准地控喷泉的喷射高度，使喷泉的美感得以淋漓尽致的表现出来。分析问题a：问题a要求将喷射的水流的高度控制到10米以上。该问题可以根据能量守恒定律求出一定时间内水柱喷射10米的高度所需要的能量，同时需要通过网上查找和翻阅书籍了解拉斯维加斯当地的特定环境以判断水流在空中运动时的能量损耗。再通过Maltlab对相应数据进行处理最后得出与喷射高度、喷水嘴半径以及水泵频率相关的模型，从而得出水流高度超高10米是需要满足的条件。分析问题b:问题b要求通过设计喷头和水泵的频率来精准地控制使水流高度达到20、50、100米，该问题可通过问题a中建立的模型分别求出水流喷射到相应高度时喷头和水泵需要满足的条件。同时问题需要分析喷头和喷管的影响，可以根据流体力学建立喷头和喷管对喷出水柱产生的影响的模型，结合问题a中模型得出喷头和喷管的影响。3模型假设1、水滴是球形且在运动过程中形状保持不变。2、风的运动方向是水平，在竖直方向风速为0。3、喷头嘴为圆形，与水滴半径相同，并且竖直向上。4、水柱是连续的，且水柱最高点一定，竖直方向只受重力和空气阻力。5、水泵只给一个喷头提供动力，并全部转化为喷出水滴的动能。4符号说明P：水泵的功率；水ρ：水的密度；H：水流喷射的高度；r：喷嘴头和水滴的半径；c：空气阻力系数；ρ：空气密度；水v：水滴任意时刻的速度；0v：喷嘴喷出水滴的速度；s:喷嘴的面积；m：每个水滴的质量；V:每个水滴的体积；阻w：阻力做功；h：每个时刻水滴所在的高度相距最高点的距离；1c：常数；损E：水流动时在水管中损耗的能量；1v：水在水管截面的平均流速；L：水管的长度；d：水管的截面直径；λ：沿程阻力系数；ζ：局部阻力系数。5模型的建立与求解5.1对问题a的求解5.1.1模型分析通过水景喷泉相关类书籍，了解到影响喷泉喷射高度的因素大致有管道、喷嘴半径、空气温度、水池水位高度、空气阻力、风速以及水泵频率等因素。这些因素涉及到许多常数，其参考值见附表。根据题意我们对喷泉本身主要考虑喷嘴半径、水泵频率两个因素。模型最终要列出喷嘴半径、喷水频率和水流喷射高度的关系是，由于涉及到频率，所以可以应用能量守恒。先对水滴受力分析，再对其积分求出水滴到达最高点所需的能量，由此求出一定时间段水泵对喷出的水流所做的功，从而求出频率、喷嘴半径与水流高度的关系式。5.1.2模型求解喷泉在喷射过程中，喷出的水滴在竖直方向上会受到空气阻力和重力的影响根据牛顿第二定律可得出：maFmg空气阻力与型阻系数空气密度、水滴的截面积和水滴的速度存在一定关系，但型阻系数一定，空气密度由拉斯维加斯当地的环境决定，所以可认为水滴所受空气阻力仅由水滴的速度和水滴截面积决定。空气阻力与速度的关系2ρsv21cF随着水滴的上升，由于重力和空气阻力的作用水滴的速度在不断下降，从而加速度不恒定，取dv,dt,dh分别为水滴运动过程中的速度微元、时间微元和距离微元，则其加速度为：dtdvahvdvd由得出水滴在一定高度上高度和速度的线性微分方程dhdvvg2ρsv2mc由matlab初步求得水滴所在高度和速度的关系式（c1为常数，b为sc2m）12)ln(cscgbvmh求空气阻力F与h之间的关系，需要以含h的式子代替速度v,过程如下：mscchgbv)()ln(12mchscegbv)(21bgbevmchsc)(21将scmb2带入等式得：④g-esc2mv)c-s(hc21m已知在水滴运动过程中当水滴到达最高点时，水滴的速度为0，从而求解出常数c1,故当v=0，h=0有：⑤g2msc222)(20111scmgescmgescmgescmmsccmsccmscc将⑤带入④中，可得出④中常数1c并得出水滴所在高度与速度的关系122mshcescmgv⑥已知当水滴在最低点时，速度最大，故当h=H时，0vv，则可得出水滴初速度v0与最高点H的关系式，过程如下：⑦2)1(0scmgevmsHc将⑥带入中可以得出空气阻力与h的关系式：)1(mshcemgF阻取水滴与最高点的距离为dh微元作为研究对象，空气阻力F与水滴距离最高点的距离dh的乘积对水滴由最高点到最低点求积分，即可初步建立起空气阻力做功与水滴相距与最高点距离的数学模型。⑨)1(02HmsHcscegmmgHdhFw阻阻单个水滴的体积334rV在单位时间内喷头喷出水柱的体积01svV单位时间内通过喷头的水滴总个数为Vsvn0根据能量守恒定律水泵在时间段t输出的能量等于水柱的机械能和克服空气阻力所做的功之和VtsvwmgHntwmgHPt0((））阻阻将⑨带入得)1(sc2mg34st)1(mP32msHcmsHcersceg将⑥⑨带入⑩即可得出水泵功率与喷头半径和水柱高度的关系式scmgercegmPmsHcmsHc2)1(43)1(32scmgecregmPmsHcmsHc2)14)1(332已知水滴的截面积2rs水滴的质量334rm水将两式带入得rcgeercgcgrecegrPrHcrHcrHcrHc38)1()1(34381-31-(4434332434332水水水水水水水水）（）令cgc3421水，水432cc，cgc383水进行化简计算可得)1()1(22331rHcrHcercercP对上式转换得到最终模型2373212)1ln(crccPrH由Matlab求得该模型的图如下图1由图1可知当水泵频率增大,喷水嘴半径减小时水流的喷射高度越高，且喷嘴半径对水流喷射高度的影响更大。综上所述，为了使水流喷射超过10m的高度，喷水嘴半径和水泵喷射频率需满足如下关系式：10)1ln(102373212crccPrH5.2对问题b的求解5.2.1模型分析当水流高度分别为20，50，100时其水泵频率与喷头半径的关系可以通过问题a中所建模型求解。由于流体在流动过程中受到流动阻力产生能量损失，所以我们必须考虑管道对模型建立的影响。分析影响流动阻力的主要因素：水流的粘滞性和惯性、管道边壁形状及壁面的粗糙度的阻碍和扰动作用。因此分别将能量损失分为两种：沿程损失h1和局部损失h2两种形式。沿程损失为克服沿程阻力产生的能量损失，局部损失为克服局部阻力产生的能量损失。两种损失分别与管长和局部管件有关。5.2.2模型的求解在问题a中得到模型（c1,c2,c3为常数）)1()1(22331rHcrHcercercP由该模型可得当H=20时功率与喷头半径的关系为)1()1100(21003231rcercrcercP当H=50时功率与喷头半径的关系为)1()150(2503231rcercrcercP当H=20时功率与喷头半径的关系为)1()1100(21003231rcercrcercP从问题a中的图1分析可得，水流高度随着喷头半径的增大而减小。由范宁公式可得沿程损失与水流速度的平方成正比，与管道直径成反比，如下：2211vdLh已知局部损失与与水流的速度的平方成正比；公式如下：2212vh水流在管道中能量的损失为沿程损失与局部损失之和，故能量损失与管道设计之间的关系模型如下：22dLE2121vv损Matlab对该模型所画图形如下：图2由图2知随着水管长度的增加和水管直径的减小，水流在水管中损耗的能量增多。综上所述：当水泵频率与喷头半径分别满足)1()120(2203231rcercrcercP，)1()150(2503231rcercrcercP，)1()1100(21003231rcercrcercP时水流高度可达到20、50、100米；喷头的半径越小水流高度越高；当选择的水管的沿程阻力系数和局部阻力系数越小，水管的长度越短，水管的直径越小，水流在管道中损失的能量月少，则水柱喷射高度越高。6模型的评价与改进6.1模型的优点1、模型将喷出的水流理想化为以小水滴的形式喷出，使喷射水流在运动时能量的转换过程显得更加清晰，从而减小了与实际问题的误差。2、在计算水滴在空中受力时，以一阶线性微分方程的算法求解，使模型更加的精准，对问题的适用性更强。3、建模过程中考虑到了当地特殊因素的影响，使模型更加具有可行性。6.2模型的缺点及改进1、建立的模型没有考虑风的影响而是假设竖直方向上没有风速，为了完善模型应考虑当地风速以及风向，根据风与水滴的相对速度，相对摩擦算出风对水滴速度的影响进而求出风对喷射高度的影响。2、建立模型并没考虑水泵的实际输出功率小于额定功率的问题，致使最后存在误差。为了完善模型应考虑在排除水泵在运行时存在的热量损失以及其他各方面的能量损失后，进行计算数据的步骤。3、本模型的建立没有考虑一个水泵对多个喷头进行输出能量的情况而只考虑了单对单的情况，如要进行一对多的操作需另行计算。4、本模型假设前一个水滴对后一个水滴不造成影响，但实际由于受重力和空气阻力的影响前一个水滴会对后一个水滴造成阻碍作用。对模型进行改进时需计算两水滴之间的速度差，进而计算前一个水滴对后一个水滴的相对阻力之间的关系，分析对最终结果的影响。参考文献附录程序1：求解速度与距离之间的微分方程clearsymsabmmgcps;symshH;W=int('a*(exp(b/m*h)-1)',h,0,H)W=(a*m*(exp((H*b)/m)-1))/b-H*af1=subs(W,'a',mg)f1=(m*mg*(exp((H*b)/m)-1))/b-H*mgsubs(f1,'b',cps)ans=(m*mg*(exp((H*cps)/m)-1))/cps-H*mg程序2：空气阻力做功的求解clearsymsabmmgcps;symshH;W=int('a*(exp(b/m*h)-1)'