刚体的转动

5本章内容4.1刚体的定轴转动4.2力矩转动定律转动惯量4.3角动量角动量守恒定律4.4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理第四章刚体的转动6一、刚体的概念在力的作用下，其大小和形状都保持不变的物体称为刚体二、刚体的平动和定轴转动1.刚体的平动刚体在运动时，刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行。这样的运动称为刚体的平动。ABABAB4.1刚体的定轴转动刚体中各质点的平动规律完全相同,因此可用刚体中某一点的平动规律来代表整个刚体的平动规律特点：7转动平面)(tf角坐标*描述刚体绕定轴转动的角量刚体内各点都绕同一固定直线(转轴)作圆周运动(运动学方程)dtd22dtddtd角速度角加速度特点：刚体内各点对应的一切角量完全相同，因此可用一点的角量规律来代表整个刚体的转动规律定义：矢量?2.刚体的定轴转动8*绕定轴转动刚体内各点的线量与角量对应关系rv2ranrdtdavC当与质点的匀变速直线运动公式相类似设刚体作定轴转动的角速度及角加速度分别为，，则刚体内任一点相应的线量为时t02021tt221229一、力矩概念二、力矩的计算1.力对某一固定点的力矩FrMsinrFM大小:右螺旋法则确定方向:定义Fh4.2力矩转动定律转动惯量作用与意义MoFrh(h为力臂)102力对固定轴的力矩rF//FhAziMM(2)力不在垂直于轴的平面内时F(1)力在垂直于轴的平面内时rFzFrM需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向做正交分解，如图所示对轴的有效力矩应为：FrM(3)力矩迭加原理iMMhFrFMsin力矩方向？11三、刚体转动定律iiiiamfF第i个质元iiiiamfF切线方向iiiiiiiramrfrF在上式两边同乘以ri2iirm对所有质元求和)(2iiiiiirmrfrF内力矩之和为0riiFJM刚体的转动定律对照牛顿第二定律amF2iirmJif转动惯量12四、转动惯量2iirm定义(质量离散分布)r(质量连续分布)Vmrd2确定转动惯量的相关要素例如求匀质杆绕一端时的转动惯量zOxdx(M，L)2020231ddMLxLMxxxLLxJ(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置LMdxdmdmxdJ2dmxdJJ2令则13OxdxM,Lz20231dMLxxJLOxdxM,L2222121dMLxxJLL平行轴定理zdCMz'2'MdJJzzz'zJzJd刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕通过质心的轴两轴间垂直距离xx14例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOLmRJ02d2mRmROmrdrsmdd2012RJdJmRR2dsrdr2mR2dJrdm16FOr(1)JFr2rad/s2.395.02.098JFrmaTmg(2)JTrragmT例4-1:一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98N的拉力,飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度2mrJmgr22rad/s8212010502098....T解17例4-2：一定滑轮的质量为m,半径为r,不能伸长的轻绳两边分别系m1和m2的物体挂于滑轮上,绳与滑轮间无相对滑动。求滑轮转动角速度随时间变化的规律。1m2mm解以m1，m2，m为研究对象gm11Tgm22Tr1T2TamTgm111amgmT22222121mrJrTrTrarmmmgmm)21()(2121rmmmgtmmt)21()(2121018例4-3:一长为l质量为m匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链O相接,并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态,当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到与竖直线成θ角时的角加速度和角速度。m,lOmgθ例4-4:一绕中心轴转动的圆盘,角速度为ω若将它放在摩擦系数为μ水平桌面上,问经过多长时间停下来？(已知圆盘质量为m半径为R)191、质点的角动量prLhmvm方向大小r用右手螺旋法确定Ov角动量4.3角动量角动量守恒定律Lrpmo如:以ω作半径为r的圆周运动的质点相对圆心的角动量JmrmL2vr一、质点角动量定理和角动量守恒定律sinprLh20例4-5一质点m,速度为v,如图所示,A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的角动量。1dvmLA0CLmd1d2d3ABCv解1dvmLB21)(prdtddtLdpvFrprL2、质点的角动量定理pdtrddtpdr根据FrM1221LLdtMtt可见:若质点所受合外力矩为零，则质点对该参考点的角动量为一恒矢量。即为质点角动量守恒定律。质点的角动量定理22例4-6：光滑水平桌面上,小球作圆周运动。初始r0v0，当半径减小为r时v=?解：根据角动量守恒rmrmvv0000vvrr又如:行星绕太阳在指定椭圆轨道上运动，恒遵从角动量守恒定律25二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1、刚体定轴转动的角动量2iiirmOirimivJziiirm)(22、刚体定轴转动的角动量定理JdtdJ)(JdtddtdLM3、刚体定轴转动的角动量守恒定律0MJL则若=常量iiiirmLv26再如跳水、芭蕾舞等速度与姿势有着必然的联系ωJJωJω常数许多现象都可以用角动量守恒来说明27例4-8:一均质棒,长度为L,质量为M,现有一子弹在距轴为x处水平射入细棒,子弹的质量为m,速度为v0.求子弹细棒共同的速度。解xm0vx0v)31(22mxML22031mxMLxmv因子弹、细棒系统不受外力矩作用,因此角动量守恒Jm32一、力矩的功OFlFddWrdF对一有限过程21dMWMd4.4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理(2)力矩的功本质上就是力的功(3)内力矩作功之和为零说明(1)合力矩的功iiWtWpdd★力矩的功率iiM21d21)d(iiM21dMWdlFcostMddM33二、绕定轴转动刚体的动能zO的动能为imΔ2Δ21iikimEv22Δ21iirm22Δ21iikikrmEE刚体的总动能22Δ21iirm221JP•34三、转动动能定理kEJd)21d(2ddMWd)ddd(JtJ2121)21d(d2JWW21222121JJkE刚体上所有外力矩所作功等于绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量。这就是绕定轴转动刚体动能定理四、机械能守恒定律35例4-11:一根长为l,质量为m的均匀细直棒,可绕轴O在竖直平面内转动,初始时它在水平位置，求它由此下摆角时的解00dcos2dmglMW由动能定理0212JEksin21mgllgsin322/1)sin3(lgOM,lCxgmkEW亦可用机械能守恒定律来求！36子弹击入沙袋细绳质量不计vo讨论ov子弹击入杆37mRMO0v0rv质点的动量矩守恒系统的机械能守恒Rmrmvvsin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr2/1200)231(vvvRGM2/120)231(41sinvRGM例4-12:发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星.当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v0发射一质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。求θ角及着陆滑行时的速度多大？38原长为l0、劲度系数为k的弹簧,一端固定在一光滑水平面上的O点,另一端系一质量为m的小球。开始时,弹簧被拉长λ,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v0,求当弹簧恢复其原长l0时小球的速度v的大小和方向。练习题411.一质点按规律在圆轨道上运动，s为沿圆弧的自然坐标。如果当t=2s时的总加速度为，求此圆弧的半径。232tts2m/s216力学单元测验)m(251616)2(4620)2(432222RRaaastatdtdastttdtdstnttvvvv422.一质量为2kg的质点在变力F=6t2N作用下沿x轴运动，设t=0时，质点速率v0=2m·s-1，质点位置x0=5m；试求质点在1s末的速率和位置。25.7)1(;4125)2(3)1(,233403530222xttxdttdxdtdxtdttddtdvtmFatxtvvvv43O3.一匀质细杆，长L=1m，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如图所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以v=10m·s-1的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为，子弹的质量为杆质量的，试求(1)子弹和杆开始共同运动的角速度；(2)子弹和杆共同摆动能达到的最大角度。L4391MmLmMLLm91)43(314322v1940194Lv)cos1(43)cos1(2)43(3121222LmgLMgLmML)85.0(cos1