Comsol-Multiphysics-求解器简介

MEMS交流网求解器——摘记自《COMSOLMultiphysics基本操作指南和常见问题解答》ComsolMultiphysics提供了很多不同的求解器供用户选择，根据求解器类型可分为如下几种1、稳态Stationary：求解稳态问题，即偏微分方程只含有空间上的偏微分。2、瞬态Time-dependent：求解瞬态问题，即偏微分方程中还含有时间上的偏微分。3、特征值Eigenvalue：求解特征值问题4、参数化Parametric：按照一系列参数求解稳态问题。5、稳态分离式Stationarysegregated：采用分离耦合方式按照一系列参数求解稳态多物理场问题。7、瞬态分离式Timedependentsegregated：采用分离式耦合方式求解瞬态多物理场问题。从求解原理来看，可以氛围直接式线性系统求解器和迭代式线性系统求解器。典型的直接求解器包括：UMFPACK、SPOOLS、PARDISO以及Cholesky（TAUCS）等，迭代式求解器包括：GMRES、FGMRES、共轭梯度法CG、BICGStab以及集合多重网格法等，其中迭代式求解器还需要一些预条件求解器、后平滑器和粗化求解器等的支持，例如，Vanka、SOR、SSOR、SORU一直前面提到过的各种求解器均可以作为这些预处理器使用。一、求解器简介ComsolMultiphysics是采用有限元方法求解偏微分方程的大型仿真软件，有限元发发是通过离散的手段，将秋节余离散成一系列相互关联的小单元，最终形成一个离散的线性代数方程组，然后通过求解器解这个方程组，得到单元节点上的解。至于节点外的任意位置，则通过插值的方法来得到结果，即：()cufKuF式中：c——偏微分方程的系数项f——源项，转换成线性方程组后：K——刚度系数矩阵；F——载荷向量u——解向量，其熟练也称为自由度（DOF）对于这种方程的求解，最理想的状态当然就是直接通过求逆矩阵的方程得到向量解：1uKF然而，这在真实情况下是可遇不可求的，因此也产生大量的求解方法或求解器。例如上面提到的在ComsolMultiphysics中使用的直接式求解器和迭代式求解器。另外，当系数项中出现了因变量的函数时：[()]cuufKuF上面这个偏微分方程具有较强的非线性，增加了求解的难度，对于这类非线性问题，一种有效的求解办法是通过迭代的方法，采用线性求解器反复迭代，最终得到正确的结果，即，首先以初始值代入方程的系数项，对于一个近似线0uMEMS交流网性方程求解再以得到的结果代入系数项，进行下一步近似线性方程的求解直到满足精确要求110()FuKu121()F,nuKuu11()FnKu，即1nnuu，其中n为迭代次数。二、直接式求解器直接式求解器通过一步“求逆”方法进行求解，其中最常用的手段是进行LU分解，将刚度矩阵分解为上三角（U）和下三角（L）矩阵，即K=LU，然后分别对这两个矩阵求逆，然后求解，即。11uULF目前，ComsolMultiphysics中提供的直接求解器包括：UMFPACK、SPOOLES、TAUCS、PARDISO等，其特点是：1、易于使用，鲁棒性强，占用内存大2、适于处理小规模问题，高度非线性和多物理场问题其中各种不同的求解器具有各自的特点：1、UMFPACK：对一般的非对称矩阵是鲁棒和高效的，但内存开销最大。2、SPOOLES：利用对称矩阵的特点，内存使用比UMFPACK有效，但计算速度略慢。3、PARDISO：也利用对称矩阵的特点，支持共享式并行计算，计算效率高，使用内存少。由于在矩阵分解过程中不需要选主元从而节省内存，可能导致不精确的因子。4\TAUCS：非常适合于对称、正定矩阵。三、迭代式求解器迭代式求解器则采用另外一种策略，它不用形式完整的L和U矩阵，采用精细的迭代策略，通过类似求解非线性方程的做法，通过迭代求解，最终得到满足精度要求的解。目前ComsolMultiphysics提供的迭代求解器包括：GMRES、FGMRES、ConjugateGradinet、BiCGSTAB等，其特点是：1、占用内存少，更多的选择，调整比较困难。2、用用特定的物理场，如EM、CFD等。3、需要预处理器，网络框架，平滑器等。这些不同的迭代式求解器同样有各自的特点1、GMRES：在所有搜索方向上寻找最小化残差，搜索方向范围（步数缺省为50）决定了求解器的效率。如果希望节省内存，就减小步数，如果希望提高效率，就增加步数。2、FGMRES：是GMRES的一个灵活变种，能有效的处理更多类的预处理器，但是比GMRES开销大约多两倍的内存。3、ConjugateGradinet：主要应用于求解对称正定问题，在计算时比GMRES更快，常见情况如下。4、不完全LU（incompleteLU）：最具有鲁棒性，内存要求最大。5、代数多重网格（AlgebraicMultigrid）：适用于标量方程或者松散耦合的多物理场问题，对于Poisson问题非常有效。6、对角标度（DiagonalScaling）：简单，内存使用非常少，适用于椭圆或对焦占优问题。MEMS交流网、SSOR：有效使用内存，同类问题的计算可能比对角标度法要快，常用于求解电磁场等。8、Vanka：对每个Vanka的自由度求解，连接自由度的低密度系统需要在对角线上为0的变量。9、集合多重网格（GeometricMultigrid）：至少需要两极网格水平（fine和coarse），利用少数几次迭代滤出高频误差，并将不同误差等级的变量映射到不同的网格水平，在基本的网格中利用直接求解器消除剩余误差。它适用于求解非常大规模的问题。四、分离式求解器分离式求解器主要用来求解弱耦合问题，通过次序求解各个物理场，然后进行一次耦合迭代，反复这样进行，知道满足精度要求。因此它是结余完全耦合和分布耦合之间的一种求解方式。对于高度非线性多物理场模型，使用分离式求解器容易获得好的初始估算值，而且可以对不同的物理场使用不同的求解设置，对于大规模的弱耦合问题的计算，内存开销急剧下降，例如流固耦合（FSI）、断流、波传播-结构-热问题等很复杂的多物理场问题。五、求解器选择策略通常情况下，ComsolMultiphysics会根据用户的模型，自动选择求解器。例如自定义PDF应用模式一般自动选用UMFPACK或PARDISO等直接式求解器，波问题一般自动选用GMRES+SOR等迭代式求解器。用户可以根据实际情况进行修正。例如小规模的仿真，推荐采用直接式求解器；大规模的仿真，则推荐采用迭代式求解器。对于一般性的问题，首先查找模型库，选用类似案例模型采用的求解器。如果找不到类似案例，从问题的规模来说，对于自由度不很大的问题，例如2G内存小于20万自由度，可以，首先选择PARDISO求解器；如果求解失败，并且判断出是由于病态矩阵引起，则尝试UMFPACK；如果提示内存不足，可尝试SPOOLS，或对于对称正定问题，尝试TAUCS求解器；如果直接求解由于内存问题计算失败，尝试迭代求解器；传热、扩散和静电计算。尝试使用AMG作为预处理器的CG求解器；结构计算，尝试使用ILU作为预处理器的CG求解器，或者也可以按照如下次序进行尝试：GMRES+不完全LU，如果收敛慢就降低公差，内存溢出就增加调降公差；如果内存溢出，则可以更换与条件器进行尝试，例如采用集合多重网格法、Vanka、SSOR等。六、自适应网格当采用稳态求解器进行求解时，可以选择自适应网格方法来对网格进行优化。通常，ComsolMultiphysics对于玩个的要求并不高，但是一个好的网格会极大地提高收敛性，减少对计算资源的需求。质量上乘的网格一般于解向量的梯度分布相对应，解梯度变化大的区域，网格细密，反之亦然，解梯度变化小的区域，网格粗糙。一般自适应网格的用法是采用一个与仿真对象一致，但是容易收敛的条件。例如，流体仿真中的很大粘度、降温过程采用一个大降温速率等，通过这种类似的模拟结果，进行自适应网格的优化，然后再把条件改成最终的目标，实现仿真的效果。七、敏感性求解器采用稳态求解器的时候，还可以进行敏感性分析，分析模型中比较敏感的MEMS交流网变量。八、优化求解器当用户购买了优化实验室模块的功能时，就可以选择优化求解器在稳态情况下进行优化求解，该选项将打开敏感性\优化标签，用户可以在该标签才设定优化所需的参数。