连续型随机变量及其概率密度

一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布三、小结第三节连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念与性质1.概率密度函数的定义),(xFX的分布函数如果对于随机变量存在),(xf非负函数有使对于任意实数x)(xFxttfd)(,为连续型随机变量则称X的称为其中函数Xxf)(概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量的分布函数是连续函数.2.概率密度函数的性质;0)(1xf;1d)(2xxf反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。几何意义：曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1．),(,32121xxxx对于任意实数}{21xXxP;d)(21xxfxx)()(12xFxF)(}{aFaXP,d)(xxfa同时得以下计算公式}{1}{aXPaXP)(1aFxxfxxfad)(d)(.d)(xxfa几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1X≤x2}等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．xo)(xf11S1x2x3．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为dttfxFx)()((2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).注意对于任意指定值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即.0}{aXP证明}{aXPxxfxaaxd)(lim0.0}{bXaP}{bXaP}{bXaP}.{bXaP连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关注意若X是连续型随机变量，{X=a}是不可能事件，则有.0}{aXP,0}{aXP若是不可能事件则不能确定}{aX连续型是不可能事件}{aX.0}{aXP若X为离散型随机变量,离散型例1具有概率密度随机变量设X}.271{XP)(xf,30x,kx,22x,43x,0其他.;)1(k确定常数;)2(的分布函数求X(3)求解,1d)()1(xxf由得xxxkxd)22(d3043,1.61k解得的概率密度为于是X)(xf,6x,30x,22x,43x,0其他.的分布函数为X)2()(xF,0,0xxxx0,d6,30x303,d)22(d6xxxxx,43x,1.4x)(xf,6x,30x,22x,43x,0其他.)(xF,0,0x122x,30x,4232xx,43x,1.4x(3)271XP27F)1(F.4841即xttfd)(练习设随机变量X具有概率密度30()00xkexfxx(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X0.1}。解:(1)由于,解得k=3.13)(03kdxkedxxfx于是X的概率密度为0003)(3xxexfx(2)00013)()(303xxedtedttfxFxxtx310()00xexFxx即7408.03)(1.033.01.031.0edxedxxfXPx）（例2确定常数A，B使得函数为连续型随机变量X的分布函数,并求出X的概率密度.解:由分布函数的性质知BxFx)(lim1又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2.于是X的分布函数为：X的概率密度为1012()()2102xxxexfxFxeex102()1102xxexFxex所以B=1.-0,()-,0.xxAexFxBAex，二、常见连续型随机变量及其概率分布(一)均匀分布具有概率密度若连续型随机变量X)(xf,1ab,bxa,0其他,.),(上服从均匀分布在则称baX).,(~baUX记为概率密度函数图形xo)(xfab.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab1均匀分布的意义,),(Xba变量上服从均匀分布的随机在区间.),(性是相同的内的可能中任意等长度的子区间落在区间baxo)(xfabab1lablpl例3长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.)(AP解：设A为乘客候车时间超过10分钟，X为乘客于某时X分钟到达，21605205~(0,60).XU}1510{XP}4525(XP}6055{XP例4设随机变量X服从区间[-3，6]上的均匀分布，试求关于t的方程244X(X2)0tt有实根的概率．解：随机变量的概率密度为1,3690,xfx其它2444(2)0XX(1)(2)0.XX({1}{2})PXX242.993方程有实根，当且仅当即，解得，12.或XX是常数，则称X服从参数为(二)指数分布的概率密度为若连续型随机变量X0其中)(xF,1xe,0x,0其他.~().XE记作,0,0,0.xexfxx的指数分布.0()01易知且xfxfxdxe随机变量X的分布函数为某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景例6电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解,0003)(3xxexfx,.3}2{)1(623edxeXPx65.135.3333}5.1{}5.1,5.3{}5.1|5.3{)2(edxedxeXPXXPXXPxx,0,ts对于任意有}{sXtsXP}.{tXP指数分布的重要性质:“无记忆性”.该性质称为无记忆性.是某一元件的如果X的寿命,那么上式表明:,小时已知元件已使用s,小时的条件概率它总共能使用至少ts与从开.小时的概率相等使用始使用时算起它至少能t这就是说,.小时没有记忆元件对它已使用过s}{sXtsXP}{)}(){(sXPsXtsXP}{}{sXPtsXP)(1)(1sFtsFstsee)(te}.{tXP练习设打一次电话所用时间X（单位：分钟）是以1/10为参数的指数型随机变量.如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待10分钟到20分钟之间的概率．解：依题意，可知X的密度函数为101,0100,0xexfxx令A={某人等待时间为10到20分钟}，则1020PBPX201010110xedx12ee0.2325201010xe（三）正态分布正态分布的概率密度函数).,(~2σμNX记为的概率密度为若连续型随机变量X)(xf,eπ21222)(σμxσ,x,)0(,为常数其中σσμ的服从参数为则称σμX,正态分布.,0)(xf显然.1)(xxfd可以证明.)(的图形如图所示xf性质:.1对称曲线关于x,0h这表明对于任意有}{XhP}.{hXP时取到最大值当x2)(f.21;3处曲线有拐点在x;4轴为渐近线曲线以x,5如果固定,的值改变Ox则图形沿着轴平移,而不改变其形状,可见正态分布的概率密.)(所确定的位置完全由参数度曲线xfy称为位置参数.,6μ当固定,的大小时改变σ图形的对)(xf称轴不变,而形状在改变,,越小σ图形越高越瘦,,越大σ图形越矮越胖.分布函数为)(xFtexutd21222)(正态分布的应用与背景正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸、直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,0当.1服从标准正态分布时称X,)(),(表示分别用其概率密度和分布函数xΦx即有)(x,2122xe)(xΦ.d2122text标准正态分布的图形性质).(1)(xx证明xxxdeπ2122)(xΦxxxdeπ2122xxdeπ2122xxxdeπ2122).(1x,)1,0(~NX已知}.225.1{XP求解}225.1{XP)25.1()2(8944.09772.0.0828.0例7),,(~2NX若Z证的分布函数为XZ}{xZPX).1,0(~NxXP}{xXPtextd21222)(,ut令得则}{xZPuexud2122)(xΦ由此知XZ).1,0(~N定理1正态分布的计算)(xF}{xXP?原函数不是初等函数tσxσμtdeπ21222)(转化为标准正态分布查表计算],,(21xx对于任意区间有}{21xXxP21xXxP.12xΦxΦ例8设X～N(1.5，22)，求P{-1≤X≤2}。解:{12}PX18944.05987.04931.021.511.522)25.1()25.0())25.1(1()25.0(23}2323{}X{ccXPcP查表得：(3-c)/2=0.43,即c=2.14例9设X～N(3,4)，求数c，使得P{Xc}=2P{X≤c}.解:从而，P{Xc}=1-P{X≤c}=2P{X≤c}因此，P{X≤c}=1/3=1/323-1c3223c例10将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.,Cd调节器设定在)(计以液体的温度CX是一个随机变量,).5.0,(~2dNX且,90)1(d若.89的概率小于求X(2)若要求保持液体的温度至少,99.080的概率不低于为?至少为多少问d解(1)所求概率为}89{XP5.090895.090XP}89{XP5.090895.090XP5.09089Φ)2(Φ)2(1Φ9772.01.0228.099.0}80{XP5.0805.0ddXP5.0805.01ddXP)5.080(1dΦ即5.080dΦ99.0),327.2(Φ亦即5.080d.327.2故需d.1635.81满足按题意需求d)2(例111PX）说明：X~N(μ,σ2)落在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.9974,这一事实称为“3σ规则”。1XP(1)(1)2）P{|X-μ|2σ}3）P{|X-μ|3σ}=2Φ(2)-1=0.9544=2Φ(3)-1=0.9974求：已知