2008-2009学年第一学期随机数学(B)期末考试试卷(A卷)答案

2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第1页共8页北京交通大学2008~2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案一．（本题满分8分）掷两颗均匀的骰子，记8两颗骰子的点数之和为A，第二颗骰子的点数第一颗骰子的点数大于B．分别计算BAP与ABP．解：掷两颗骰子，样本点总数为36．事件A含有5个样本点，事件B含有15个样本点．所以365AP，3615BP．又事件AB含有2个样本点，所以362ABP．所以有1523615362BPABPBAP，52365362APABPABP．二．（本题满分10分）⑴写出随机事件A与B相互独立的定义（4分）．⑵设随机事件B满足：10BP，证明：随机事件A与B相互独立的充分必要条件是BAPBAP．（6分）解：⑴如果随机事件A与B满足：BPAPABP，则称随机事件A与B相互独立．⑵必要性：因为随机事件A与B相互独立，而且10BP，所以10BP．所以APBPBPAPBPABPBAP；APBPBPAPBPBAPBAP．所以有BAPBAP．充分性：由于BAPBAP，所以有2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第2页共8页BPABPAPBPABAPBPBAPBAPBAPBPABP11．因此有BPABPAPBPABP1，即BPABPBPAPBPABPABP，整理，得BPAPABP，这表明，随机事件A与B相互独立．三．（本题满分10分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中有0只，1只，2只次品的概率分别为7.0，2.0，1.0，一顾客欲购买玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而该顾客随意从中取出4只玻璃杯查看，若这4只中无次品，则买下该箱产品，否则退回．试求：⑴顾客买下这箱产品的概率；（5分）⑵在顾客买下的这箱产品中，确实没有次品的概率．（5分）解：设：顾客买下这箱玻璃杯B，只次品这箱玻璃杯中有kAk，210，，k．⑴由全概率公式，得20kkkABPAPBP9232.01.02.017.0420418420419CCCC；⑵由Bayes公式，得7583.017.0200kkkABPAPBAP．四．（本题满分10分）设随机变量X的密度函数为xexf21，x．试求：⑴（6分）随机变量X的数学期望XE与方差XD；⑵（4分）随机变量X的分布函数xF．解：⑴021dxxedxxxfXEx．2210222222dxexdxexdxxfxXEXEXEXDxx．2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第3页共8页⑵当0x时，xxtxtxedtedtedttfxF212121；当0x时，xxttxtxedtedtedtedttfxF21121212100．所以有0211021xexexFxx．五．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X（单位：分钟）的密度函数为000515xxexfx．一顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．（5分）⑵若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙．（5分）解：由于随机变量X服从51的指数分布，所以X的概率密度函数为000515xxexfx．⑴135335283.05110102105105eedxeXPPxx分钟顾客等待时间超过⑵设Y表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则2,7~ebY．所以，048494457.013423237eeCYP．这表明，3Y是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙．六．（本题满分15分）设与是相互独立且服从同一分布的两个随机变量．其中的分布律为2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第4页共8页31iP3,2,1i．又设,maxX，,minY．⑴写出二维随机变量YX,的联合分布律（5分）；⑵分别求出随机变量X与Y的边缘分布律（2分）；⑶判断随机变量X与Y是否独立（4分）；⑷求协方差YX,cov（4分）．解：⑴由与的取值都是3,2,1，可知,maxX与,minY的取值也是3,2,1．913131111,11,1PPPYXP；02,1PYXP；03,1PYXP；1,22,11,2PPYXP92313131311221PPPP；913131222,22,2PPPYXP；03,2PYXP；3,11,31,3PPYXP92313131313113PPPP；3,22,32,3PPYXP92313131313223PPPP；913131333,33,3PPPYXP；因此二维随机变量YX,的联合分布律及X与Y的边缘分布律为2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第5页共8页YX123ip191009129291093392929195jp959391⑶由于21939102,1YPXPYXP，所以X与Y不独立．XY的取值为9,6,4,3,2,1，其分布律为XY123469P919292919291所以，4936919926914923922911XYE；922953932911XE；914913932951YE，因此，81168114224,covYEXEXYEYX．七．（本题满分10分）某快餐店出售四种快餐套餐，这四种快餐套餐的价格分别为6元、10元、15元和18元．并且这4种快餐套餐售出的概率分别为2.0、45.0、25.0和1.0．若某天该快餐店售出套餐500份，试用中心极限定理计算：⑴该快餐店这天收入至少为5500元的概率．⑵15元套餐至少售出140份的概率．（附，标准正态分布10，N的分布函数x的部分值：x39.048.048.155.1x6517.06844.09306.09394.0解：⑴设X表示售出一份套餐的收入，则X的分布律为X6101518P2.045.025.01.0则25.111.01825.01545.0102.06XE，2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第6页共8页85.1401.01825.01545.0102.0622222XE，2875.1425.1185.140222XEXEXD．令iX表示出售的第i套快餐套餐的收入，500,,2,1i．则50021,,,XXX独立同分布，且iX500,,2,1i的分布都与X的分布相同．则2875.1450050025.1155002875.1450050025.11550050015001iiiiXPXP9306.048.148.1148.12875.1450050025.1115001iiXP⑵设Y表示售出的500份套餐中15套餐的份数，则25.0,500~BY．则75.025.050025.050014075.025.050025.0500140YPYP0606.09394.0155.1155.175.025.050025.05001YP．八．（本题满分6分）设21,XX是取自正态总体2,0~NX中的一个样本．试求随机变量22121XXXXY的分布．（不必求出Y的密度函数，只需指出Y是哪一种分布，以及分布中的参数即可．）解：由于21,0~NX，22,0~NX，而且1X与2X相互独立，所以2212,0~NXX，2212,0~NXX．由于0varvar,cov212121XXXXXX，而且2121,XXXX服从二元正态分布，所以21XX与21XX相互独立．所以，1~22221XX，1~22221XX；而且2212XX与2212XX相互独立．2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第7页共8页所以，1,1~2222122122121FXXXXXXXXY．九．（本题满分11分）设总体X的密度函数为其它0063xxxxf，其中0是未知参数，nXX，，1是从该总体中抽取的一个样本．⑴.求未知参数的矩估计ˆ；（4分）⑵.判断ˆ是否为参数的无偏估计；（4分）⑶.求ˆD．（3分）解：⑴.26032dxxxdxxxfXE，所以，XE2，将XE用样本均值niiXnX11来替换，得未知参数的矩估计为X2ˆ．⑵.由于22222ˆXEXEXEE，所以，X2ˆ是参数的无偏估计．⑶.XDnXDXDD442ˆ，而22XEXEXD204622203322dxxxdxxfx所以，nnXDnD52044ˆ22．十．（本题满分10分）2008-2009学年第一学期随机数学（B）期末考试试卷（A卷）答案第8页共8页⑴（7分）设总体X等可能地取值1，2，3，，N，其中N是未知的正整数．nXXX,,,21是取自该总体中的一个样本．试求N的最大似然估计量．⑵（3分）某单位的自行车棚内存放了N辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12，203，23，7，239，45，73，189，95，112，73，159．试求在上述样本观测值下N的最大似然估计值．解：⑴总体X的分布列为NxXP1，Nx,,2,1．所以似然函数为nniiiNxXPNL11