Z变换详细讲解

.()(1)()(0)1ynynuny..1()1(0)1nziryncy解：＝；齐次解..111....(0)(0)1()..()[(1)]()(0)1()(1)()..nzsrzsrzsryyynannzsryncnunycynnunzirzsr求求特解：而完全响应：y(n)=1+(n+1)u(n).....rszriz和求1)1()0()0(yuy11)0(cy而本章要点(1)•Z变换的基本概念和基本性质•利用Z变换解差分方程•离散系统的系统函数•离散系统的频率响应•数字滤波器初步本章要点(2)•求序列的Z变换－利用Z变换的定义，借助Z变换的性质，或采用幂级数展开法•逆Z变换的确定－围线积分法（留数法）部分分式法，幂级数展开法（长除法）。注意在不同形式收敛域下逆变换的求法。•掌握Z变换的主要性质，特别是位移性和卷积定理•由连续信号的拉氏变换求离散（抽样）信号的Z变换；S平面与Z平面的映象关系•离散系统的系统函数，单位样值(冲激)响应及频率响应(意义，特点及求法)•离散系统的构成§8.1引言*借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换0)()()().()(nTsnTtnTxttxtx抽样信号的拉氏变换：dtenTtnTxdtetxtxstnstss000)()()()(对上式取拉氏变换：交换积分与求和次序：sTnnsTnsnTsezznxzxzTsezenTxsx00)()(ln1;)()(或令）的生成函数（相应的值数值。数为的系一般为复变数，每一项，级数（洛朗级数的特例的一个幂变换为的列定义：一个离散时间序nznxnxZZZnx)()())(11T令：sze*.典型序列的Z变换(p375附录5）•单位样值序列•单位阶跃序列•斜变序列•指数序列•正弦余弦序列§8.2.Z变换定义，典型序列的Z变换)0(1)()]([)1(0zznnZTnn0()(2)[()]()()(63:(00,)(0,0)nnrmmrmZTnmnmzrzzpmzmz位移性）)0(0)1()1()]1([)3(101zzzznznnZTnnnn1001[()]()(1)11nnnnzZTununzzzzz2021)1()1(1)()]([zzzznnunnuZTnn)(11)]([10azazzazzanuaZTnnnnZmz由此可以看出变换的基本形式：z-z1z-1将上式两边分别对求导后，两边各乘z得正弦序列的Z变换:000000000020[][][sin][()/2]()/2sin2cos1jnjjnjjnjnjjzZTezezZTezeZTnZTeejzzjzezezzz1cos2)cos(2/)(]2/)[(][cos][][020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的Z变换:)(cos2)cos(2/)(]2/)([]cos[][][2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn例§8.3Z变换的收敛域(p49)一.Z变换的收敛域0)(nnznx1.根据级数理论2.借助于S平面与Z平面的映射3.几类序列Z变换的收敛域双边序列左边序列右边序列有限长序列4.例子：nnnaa1lim*比项法：设不能肯定。级数发散。级数收敛。,1,1,1nnnalim)(*设：柯西准则捡根法不能肯定。级数发散。级数收敛。,1,1,1是收敛半径。之范围，这里于变换存在时是指数阶的，则它的且当有限的在每个有限的间隔内是如果序列RRzZnnx)(，列之间存在着对应关系指数阶函数和指数阶序为指数阶函数。称时都有使所有的和时存在正数当定义：如有一序列)()(,)(nxAanxNnNaAnnxn几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn收敛域为除了0和的整个平面z]Re[z]Im[zj)(nx12000nznz时，和时外，所有z值都收敛（1）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列1nn)(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收敛半径圆外为收敛域1xR]Re[z]Im[zj（1）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列2nn)(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n2xR]Im[zj]Re[z（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛12xxRR12xxRR有环状收敛域没有收敛域12xxRR]Im[zj]Re[z)(.4)]8()([)31()(.3)1()31()(.2)()31()(.1,.nxnununxnunxnunxZnnn极图。并标明收敛域，画出零变换求下列序列的onnnn20)31(例：)(31)()1(nunxn右边序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31z311xR31]Im[zj]Re[z的收敛域。考察一个序列)4)(5.1)(1(12)(.*22zzzzzzXizzz25.11极点为：2z圆例：)1(31)()2(nunxn左边序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim2znRzzxnnn收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点0n2xR31]Im[zj]Re[z例：)]8()([31)()3(nununxn有限长序列)()(11)(31)(31783181318131801zzzzzzzXnn收敛域为除了0和的整个平面z]Re[z]Im[zj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点7阶极点一阶极点)(kf0)31(kk02kk...])31()31(311[...])2()2([...)()(312112131zzzzzzkfzFkk解：双边序列：.*22lim212,1)2(lim1kkkkkkzzzzZ或条件是的正幂无穷级数第一项仅含有3131lim1)31(limkkkkkkkzzZ或的负幂的无穷级数第二项仅含有312)(zzF的绝对收敛域为RezImz的园环。的绝对收敛域为312)(zzF312)(*kf敛域判断下列双边序列的收01k021kk。两个条件是互相矛盾的条件为的负幂级数，绝对收敛对于条件为的正幂级数，绝对收敛对于解：由分析可知：,121ZZZZ*序列形式与双边Z变换的收敛域的关系(p52.表8－1）§8.4-逆Z变换一.逆Z变换1.围线积分法(留数法）(p55-p56)2.幂级数展开法(长除法）(p56-p58)3.部分分式展开法(p58-60)4.(p60-p61)三个逆Z变换表（1）留数法(从Z变换的定义表达式导出逆Z变换）•假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：0)()(nnznxzXCCnnCmnnmmdzznxdzznxzdzzXz00111)()()(1mz•由复变函数中的柯西定理•只有右边的即一项，•于是•逆变换00021kkjdzzCk11mnmnCnCndzzzXjnxnjxdzzzX11)(21)()(2)(nzznCnmzzXsdzzzXjnx])([Re)(21)(11用留数求围线积分mmzznmzznzzXzzzzXs])()[(])([Re11一阶极点：S阶极点：mzzsmnsszzzzXdzds])()([)!1(1111例?)()1()5.0)(1(12)(23nxzzzZzzzX)(1nxz解必然是因果序列，可用单边Z变换mmzznnzznzzzzzzszzXsnx1231)5.0)(1(12Re])([Re)(0,5.0,1,1(0,5.0,1,05.0,1,23214,32121zzznzzznzzn为二阶极点）nznznzzzzzzzznxn)5.0(1381125.012)(2)1(5.0232123211386)5.0(138)5.0)(1(12)(0)2(00223zzzzzznxn5.3)5.0(1382)5.0(138)5.0)(1(12)(1)3(1023zzzzzznxn（2）部分分式法kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzX11101110)(000abArkkmmmpzzAAzX10)(00ArkkmmmzpAzX111)(kmmmpzAzzX1)(Am是在Pm处的留数zzX)(只有一阶极点mmpzmpzmpzzzXzzXsA)()()(Re)()()(01nAnupAnxnmkmm)(Rz)(Rz)()1()(01nAnupAnxnmkmm含有M个一阶S个高阶极点SjjjMmmmzzBpzzAAzX110)(jzsjjsjsjzzXzdzdjsB)()()!(1SjjjjjMmmmzzCpzzAAzX110)()(部分分式为另一种形式jzSjjzXzzC)(例双边序列?)()231(235)(2nxzzzzzX231)(zzzzzX简单的可用公式或查下册第60页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列)1(2)()()(31nununxnn)221(2523)(.211zzzzzX例求221)2)(21(23)(:21zAzAzzzzX解1121AA221)(zzzzzX)()22()(2)21()(,2.1nununxznnnn右边)1()22()1(2)1()21()(,21.2nunununxz