定积分在几何上的应用(面积)

第五章定积分及其应用§6定积分在几何上的应用§5.6定积分在几何上的应用若能把某个量表示成定积分,我们就可以计算了.回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(问题的提出曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy一、定积分应用的微元法A面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfA（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(abxyo)(xfy提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积微元对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”微元法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量F的近似值.如果F能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量F的微元且记作dF，即dxxfdF)(；两边积分badxxfF)()(3说明：当所求量F符合下列条件（1）F是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）F对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则F相应地分成许多部分量，而F等于所有部分量之和；（3）部分量iF的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量Fxyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([121.直角坐标系情形xxxxx二、用定积分求平面图形的面积上曲线下曲线)(xfyabxoy.],[)(上有正有负在baxfxx+dxdxxfdA)(时＞0)(.1xf时＜0)(.2xfdxxfdA)(总之dxxfdA)(babadxydxxfA)(x+dxx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积微元dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx可直接由公式得到x+dxx求面积的一般步骤：1.作图求交点.2.用定积分表示面积.3.求出定积分的值.微元法公式法解由公式得：63sindxxA233)cos(cos6003xx例2.6,3sin积轴围成的平面图形的面及与直线求由曲线xxxxy60036003sinsinsinsinxdxxdxdxxdxx可直接从几何意义上得到xy=sinxoy36例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选x吗？选为积分变量x]8,2[]2,0[xdxxxA20)]2(2[.18)]4(2[82dxxxOyBA4-2yxy+dy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.18)24(42242dyyydAAxy224xyyy+dy说明:合理选择积分变量会使计算简单.一般地:y+dyyoyx)(yxdcdcdyyA)(dcxdyoyx)(2yxdc)(1yxy+dyydcdyyyA)]()([21右曲线左曲线例4.1522平面图形的面积所围成的和求抛物线yxyx解如图求得交点为)21,45()21,45(21BB和oxy1B2BA25yx21yx取y为积分变量]21,21[ydyyys212122]5)1[(32]34[]5)1[(2210321022yydyyy如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.（相当于定积分的换元）babadxydxxfA)(由知例5求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab设由曲线)(r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积为:.)]([212dA2.极坐标系情形)(r221rA圆扇形的面积为例6求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A例7求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0★求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）总结★微元法xyxyoyxxeyeyoyx2xy32xyoyx2xy1yoyx22xy10)(dxxxAeydyA1lndxxxA312)32(10)2(dyyyA思考题设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.请列出f(x)所满足的关系式谢谢！放映结束感谢各位的批评指导！让我们共同进步谢谢！放映结束感谢各位的批评指导！让我们共同进步