Z变换

一、概述拉普拉斯是连续时间傅里叶变换的一种推广，它比傅里叶变换有着更广泛的适用范围。许多信号的傅里叶变换不存在，却有着拉普拉斯变换。由于离散信号和系统的数学抽象是序列，其变量是离散的，因此拉普拉斯变换已不适用。为简化运算，引入了作为傅里叶变换的推广即Z变换。二、Z变换连续信号通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号的表达式为（1）对式（1）作拉普拉斯变换0*()()()(0)()()()(2)(2)kftfkTtkTftfTtTfTtT(3)(3)fTtT23*()[*()](0)()(2)(3)sTsTsTFsLftffTefTefTe0()eksTkfkT（2）从式（2）可以看出，是的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“Z”，令esTz（3）代入式（2）并令，得式（4）定义为采样信号的Z变换，它是变量Z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常是以表示。1ln*()()szTFxFz120()(0)()(2)()kkFzFfTzfTzfkTz（4）()[*()]FzLft由以上推导可知，Z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作变量置换。作为一种重要的数学工具，他把描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化；它还可用系统函数零极点分布，定性分析系统的时域特性、频率响应和系统稳定性等问题。)z(Ez)]kTt(e[Zk1k0nnkkz)nT(ez)z(Ez)]kTt(e[Z)ze(E)]t(ee[ZaTat)z(E)1z(lim)(e)nT(elim)(e1zn存在，则若存在。域单位圆内时的所有极点在当)(e,z)z(E理求终值）的极点时仍可用终值定（有1z三、基本性质1、线性定理2、实位移定理3、复位移定理4、终值定理四、计算方法（1）级数求和将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯变换，F*(t)=可得：F(z)=f(0)×1+f(T)Z-1+f(2T)Z-2+f(nT)Z-n0)()(nnTtntf（2）部分分式法当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。（3）留数计算法设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换.五、Z反变换求与Z变换相对应的采样函数的过程称为z反变换，并表示成注意：Z反变换的结果只包含了采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即*()ft1*[()]()()ZFzftfkT1[()]()ZFzft如图所示，3种不同的连续信号对应着同一个采样信号序列。换句话说，Z反变换唯一对应采样信号，但可对应无穷多个连续信号。六、Z反变换的求法长除法（幂级数展开法）部分分式法留数法（反演积分法）)(tf)(sF)(zF)(t)(1tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz常用函数的Z变换描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：•时域方法——烦琐•z变换方法•差分方程经z变换→代数方程；•可以将时域卷积→频域（z域）乘积；•部分分式分解后将求解过程变为查表；•求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。七、差分方程八、差分方程求解步骤(1)对差分方程两边进行单边Z变换；(2)然后将每一项的Z变换结果带入差分方程；(3)整理出Y(Z)的表达式；(4)对整理出的Y(Z)进行部分分式展开；(5)最后对展开后的Y(Z)进行Z反变换，得到y(n)。问题1、Z变换的作用？2、Z变换与傅里叶变换的差别？3、Z变换与拉普拉斯变换的关系？4、差分方程用到了什么定理，以及其本质是什么？5、在对差分方程两边Z变换时需要注意什么？15Z变换实例16functiontest()fs=1e5;%100kHzfc=1e4;%10kHzfsigal=100;%100Hzamp=1;N=1e5;M=1024;t=linspace(0,1,N).';x=gen_signal(amp,fc,t).*gen_signal(amp,50,t);[flist,famp]=get_amp(x,fs,fc-100,fc+100,M);figure(1);clf;subplot(311);plot(t,x);xlabel('time(s)');ylabel('amp');gridon;subplot(313);plot(flist,angle(famp));xlabel('angle');ylabel('amp');gridon;functionx=gen_signal(amp,f,t)n=length(t);x=amp*cos(2*pi*f*t);function[flist,famp]=get_amp(x,fs,f1,f2,M)N=length(x);W=exp(-j*2*pi*(f2-f1)/fs/M);A=exp(j*2*pi*f1/fs);famp=czt(x,M,W,A);flist=linspace(f1,f2,M).';gridon;figure(1);clf;subplot(311);plot(t,x);xlabel('time(s)');figure(1);clf;subplot(311);plot(t,x);xlabel('time(s)');ylabel('amp');gridon;subplot(312);plot(flist,abs(famp)/(N/2));xlabel('freq(Hz)');ylabel('amp');gridon;subplot(313);plot(flist,angle(famp));xlabel('angle');17