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第一讲模糊集概论1.1引言(什么是模糊数学？发展过程/应用价值?)1.2模糊集的基本概念1.1.1什么是模糊数学•模糊数学(FuzzyMathematics)是一个新兴的数学分支,它并非“模糊”的数学,它是研究模糊现象、利用模糊信息的精确理论。模糊数学的目标是仿效人脑的模糊思维,为解决各种实际问题(特别是有人干预的复杂系统的处理问题)提供有效的思路和方法,模糊数学已广泛应用于自动控制、预测预报、人工智能、系统分析、信息处理、模式识别、管理决策、仿真技术,甚至那些与数学毫不相关或关系不大的学科,如生物学、心理学、语言学、社会科学等。1.1.1什么是模糊数学•所谓模糊现象,是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态,它产生于人们对客观事物的识别和分类之时,并反映在概念之中。外延分明的概念,称为分明概念,它反映分明现象。外延不分明的概念,称为模糊概念,它反映模糊现象。模糊现象是普遍存在的。在人类一般语言以及科学技术语言中,都大量地存在着模糊概念。例如:高与矮、胖与瘦、美与丑、清洁与污染,甚至象人与猿、脊椎动物与无脊椎动物、生物与非生物等等这样一些对立的概念之间，都没有绝对分明的界限。一般说来,分明概念是扬弃了概念的模糊性而抽象出来的,是把思维绝对化而达到的概念的精确和严格。传统数学以康托尔集合论为基础。集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法。康托尔集合要求其分类必须遵从排中律,论域(即所考虑的对象的全体)中的任一元素要么属于集合A,要么不属于集合A,两者必居其一,且仅居其一。它只能描述外延分明的“分明概念”,只能表现“非此即彼”,而不能描述和反映外延不分明的“模糊概念”。为了克服Cantor集的不足,1965年美国控制论专家L.A.Zadeh(1921~)发表了著名论文FuzzySets,这标志着模糊数学的诞生。模糊概念的外延是不明确的,其边界是不清晰的,因而相应的集合也是“模糊”的。就是说一个对象是否属于这个集合,不能简单地用“是”或“否”来回答。比如,对于“年轻人”这个概念,若要判断20岁的张三或80岁的李四是否是“年轻人”,答案自然是明确的！但要判断28岁~35岁左右的人是否属于“年轻人”的集合,就不那么好确定了。对于一个实际年龄不超过30岁而又没有几根头发的人,就更难确定是否属于“年轻人”的集合了。在许多场合里,是与不是,属于与非属于之间的区别不是突变的,不是一刀切的,而是有一个边缘地带、量变的过渡过程。很自然地会提出疑问：为什么要把自己局限于只考虑“属于”、“不属于”两种极端情况？如果分别用1、0表示“属于”、“不属于”,称为元素属于集合的隶属度。上述问题就表示成:为什么非要规定隶属度只取0、1两个值呢？Zadeh正是创造性地允许隶属度可取0、1之间的其他值,从而用隶属函数来表示模糊集合！模糊集合不是简单地扬弃概念的模糊性,而是尽量如实地反映人们使用模糊概念时的本来含意。这是模糊数学与普通数学在方法论上的根本区别。恩格斯说：“辩证法不知道什么绝对分明的和固定不变的界限,不知道什么无条件的普遍有效的‘非此即彼！’它使固定的形而上学的差异互相过渡,除了‘非此即彼！’,并且使对立互为中介；辩证法是唯一的、最高度地适合于自然观的这一发展阶段的思维方法。”模糊数学正是辩证法思想在数学中的反映。“模糊数学”的核心是模糊集合,因而也被称为“模糊集理论”。由于其研究内容越来越深入、应用越来越广泛,远超出了数学的范围,故又常被称为“模糊理论”。又由于模糊数学的应用突出体现在控制系统中,因而又常被称为“模糊系统理论”。另外,模糊数学的思想冲破了经典二值逻辑的范畴,因此模糊逻辑(FuzzyLogic)常被作为模糊数学的代名词。所有这些概念,已很难给出一个明确的界定。当然,这也说明了“模糊”概念/“模糊”现象的确无处不在！模糊理论模糊数学模糊系统模糊决策不确定性与信息模糊逻辑与人工智能模糊集合、模糊测度、模糊分析、模糊关系、模糊拓扑等模糊控制、模糊信号处理、模糊模式识别、通信等模糊多目标优化、模糊数学规划可能性理论、不确定性度量等近似推理、模糊专家系统等1.1.2从名人那里了解模糊数学•Zadeh于1921年出生在前苏联的阿塞拜疆(Azerbaijian)共和国,母亲是俄罗斯人,父亲是伊朗人,从事进出口生意,家境富裕。Zadeh在前苏联上小学,接受十月革命后的共产主义教育。后来由于政局动荡,Zadeh的父母把他送到伊朗的美国学校,并在伊朗UniversityofTeheran完成了大学教育1.1.2从名人那里了解模糊数学•1944年Zadeh到了美国,就读MIT,1946年获得硕士学位后转到Columbia大学继续深造,于1949年获博士学位,并留校任教。Zadeh是现代控制理论的开创者之一,他首先提出了状态空间的概念,并是系统理论(systemtheory)这个名词的发明者。1959年Zadeh离开Columbia转去Berkeley,一直工作到现在。1.1.2从名人那里了解模糊数学•长期以来,围绕决策、控制及其有关的一系列重要问题的研究,从应用传统数学方法和现代电子计算机解决这类问题的成败得失中,使扎德逐步意识到传统数学方法的局限性。他指出：“如果深入研究人类的认识过程,我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大的财富而不是包袱。这一点,是理解人类智能和机器智能之间深奥区别的关键。”精确的概念可以用通常的集合来描述。模糊概念应该用相应的模糊集合来描述。扎德抓住这一点，首先在模糊集的定量描述上取得突破,奠定了模糊性理论及其应用的基础。1.1.2从名人那里了解模糊数学•人脑的重要特点之一就是能对模糊事物进行识别和判断,许多事物是不能用精确的数学模型来表达的,处理许多事情常常用模糊的方式比用精确的方式更有效。扎德在谈到这个问题时,曾经用汽车停车作为例子。要在拥挤的停车场上两辆车之间的一个空隙停放一部汽车,司机通过一些不精确的观察,执行一些不精确的操纵,轻而易举的就完成了泊车的工作。而如果通过微分方程表示汽车的运动,装备精良的检测设备,用一台大型计算机也难以胜任这一工作。1.1.2从名人那里了解模糊数学•随机性和模糊性都是对事物不确定性的描述,但二者是有区别的。Zadeh在其开创性论文FuzzySets中说：应该注意,虽然模糊集的隶属函数与概率函数有些相似,但它们之间存在着本质的区别。模糊集的概念根本不是统计学的概念。•概率论研究和处理随机现象,所研究的事件本身有着明确的含意,只是由于条件不充分,使得在条件与事件之间不能出现决定性的因果关系,这种在事件的出现与否上表现出的不确定性称为随机性。而模糊数学研究和处理模糊现象,所研究的事物其概念本身是模糊的,这种由于概念外延的不清晰而造成的不确定性称为模糊性。1.1.2从名人那里了解模糊数学•下面的例子中可以更鲜明地说明随机性和模糊性的区别：•假如你不幸在沙漠迷了路,而且几天没喝过水,这时你见到两瓶水,其中一瓶贴有标签：“纯净水概率是0.81”,另一瓶标着“纯净水的程度是0.81”。你选哪一瓶呢？相信会是后者。因为后者的水虽然不太干净,但肯定没毒,这里的0.81表现的是水的纯净程度而非“是不是纯净水”,而前者则表明有19％的可能不是纯净水(换句话说就是:可能有毒)。1.1.2从名人那里了解模糊数学•模糊数学理论在科学技术领域中有着广泛的影响,从Zadeh获得的下列荣誉和奖励中可窥见一斑:扎德博士是著名IEEE,AAAS,ACM和AAAI,及美国工程学会的成员,他在1973年获IEEE教育奖章和在1984年获IEEE百年纪念奖章,在1989年荣获本田基金会的本田奖．于1992年荣获IEEERichardW.Hamming奖章,此奖章表彰他对信息科学和系统包括模糊集论的学术贡献。他在1992年成为苏联自然科学院外籍院士(计算机与控制系统)并获国际人工智能基金会人工智能特别贡献证书．1.1.2从名人那里了解模糊数学•扎德博士于1993获RufusOldenburger奖章,此奖章由美国机械工程协会表彰他对系统理论、决策分析、模糊集论及其在人工智能、语言学、逻辑、专家系统和神经网络的应用的学术贡献．他同时获GrigoreMoisil奖,此奖表彰他的基础研究,并且在第二届国际模糊理论和技术学术会上获第一个最佳论文奖．在1995年荣获IEEE荣誉奖章,以表彰他对模糊逻辑的发展及其许多不同领域的应用．扎德博士于1996年获Okawa奖,以表彰他通过模糊逻辑的发展与应用对信息科学的杰出贡献．1.1.2从名人那里了解模糊数学•扎德在1997年获捷克科学院的B.Bolzano奖章以表彰他对模糊数学取得的杰出成就,同年他荣获IEEE-SMCJ.P.Wohl杰出生涯成就奖章.作为李光耀的贵客,在新加坡的国立大学及南洋技术大学讲学。1998年国际智能系统学会EdwardFeigenbaum奖,美国自动控制理事会RichardE.Bellman控制遗产奖,日本模糊理论协会信息科学奖。1999年BerkeleyFollows,IFSAFellows.2000年IEEE千年奖章、IEEE模糊系统先驱奖、ASPIH2000终生成就奖、ACIDCA2000论文奖。2001年ACM2000AllenNewell奖。此外还有十余个国家的众多荣誉博士学位……1.1.2从名人那里了解模糊数学•L.A.Zadeh教授访问记(AnInterviewwithLotfiA.Zadeh,CommunicationoftheACM,Vol.27,No.4,304-311,April1984)•问：Zadeh教授，自从你60年代建立了模糊逻辑的概念之后，对此的兴趣增加了很多吗？有无其他人追随了这一理论？•Zadeh:…人们正在日益接受这一理论，但对此还有很大的怀疑和反对。目前，研究模糊集理论人数最多的国家是中国。似乎在东方国家对于与二值逻辑不同的体系有更大的兴趣，大概这是因为他们的逻辑不像西面的笛卡尔逻辑。2005年1月5日,四川大学收到喜报,国际模糊系统协会发来通知称,经该协会专家评审,已确定授予川大副校长刘应明院士“FuzzyFellow奖”(模糊杰出人物奖)。“FuzzyFellow奖”是模糊数学领域的最高奖项,专门授予得到国际公认的、在模糊数学领域做出杰出贡献的科学家。此前有10多位国外科学家曾获得这一奖项,刘应明院士成为首位获此殊荣的中国科学家,打破了欧美科学家垄断这一奖项的格局。•四川在线(2005-01-06)刘应明(1940-)福建福州市人,数学家,1995年当选为中国科学院院士。主要从事拓扑学与不确定性(主要是模糊性)数学处理等方面的教学与科学研究,并取得多项重要成果。完成了与模糊信息处理有关的国家“863”课题及国家基金重大项目,推动了我国模糊技术产业化。已发表研究论文80余篇,并获国家自然科学奖等多种奖励。•在刘院士眼中,自己研究的模糊数学就像空气一样无处不在,并非人们想像的那样深奥玄迷。“人们说的话,10句至少有8句是模糊的,”刘院士笑着说,“今天天气不错这句话就是模糊的,你可以根据这句话就放心出门,但如果精确地告诉你,今天的气压是多少,风力有多大,紫外线强度有多少,你可能就无法判断自己该不该出门。”•炒菜就是人们利用大脑对模糊信息进行处理的一个例子,炒菜的人不可能用温度计来测炒锅达到什么温度,然后再下菜,也不会准备一只天平来称该下多少菜,“如果什么事情都要精确,你将寸步难行。”•有些现象是精确的,但是,适当的模糊化可能使问题得到简化,灵活性大为提高。例如,在地里摘玉米,若要找一个最大的,那很麻烦,而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下,再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大,工作越困难。然而,只要稍稍改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米,而是找比较大的,即按通常的说法,到地里摘个大玉米。这时,问题从精确变成了模糊,但同时也从不必要的复杂变成意外的简单,挑不多的几个就可以满足要求。因此,适当的模糊反而灵活。•刘应明：模糊性是精确性的另一