沪教版八年级下21.3-无理方程知识讲解-讲义

沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义1/5无理方程知识讲解【学习目标】1、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.3、知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．要点二、有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程.要点三、代数方程有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.要点四、解无理方程的一般步骤1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义2/52.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。要点五、代数方程分类代数方程【典型例题】类型一、无理方程概念1．已知下列关于x的方程：其中无理方程是____________________(填序号).【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数..3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122xxxxxxaxxxxx）（有理方程整式方程分式方程无理方程沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义3/5【答案】（2），（3），（5）【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.举一反三：【变式】下列方程哪些是无理方程？(1)=0；(2)=0；(3).=0；（4）（是常数）．【答案】（1）（2）（3）是无理方程．类型二、判断无理方程解的情况2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？①+1+1=0x；②11xx；③325xx.【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式a，有0,0aa.”【答案与解析】（1）因为+10x，所以110x＞，所以方程无解（2）因为+1xx，所以-10xx，所以方程无解（3）因为-50x，2-0x所以x≥5且x≤2，所以方程无解【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a，有0,0aa.”类型三、解无理方程3．解方程71xx【答案与解析】解：移项得：71xx两边平方得：2721xxx移项，合并同类项得：260xx解得：3x或2x检验：把3x代入原方程，左边右边，所以3x是增根．把2x代入原方程，左边=右边，所以2x是原方程的根．所以，原方程的解是2x．【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．举一反三：沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义4/5【变式】方程的根是．【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边，故x=3是方程的解．故答案是：x=3．4、972xx【答案与解析】x=23原方程变形为+2=9--7xx两边平方得x+2=81-18-7x+x-7整理得-7=4x再两边平方得x-7=16解得x=23检验：把x=23代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是x=23【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式.举一反三：【变式】875xx【答案】x=8原方程变形为+8=5--7xx两边平方得x+8=25-10-7x+x-7整理得-7=1x再两边平方得x-7=1解得x=8检验：把x=8代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是x=8类型四、“换元法”解无理方程5、解方程22886xxxx【答案与解析】1=4+25x2=4-25x设28yxx换元后，整理得方程是2+-6=0yy沪教版八年级下21.3无理方程知识讲解讲义5/5解得1=2y2=-3y（不合题意舍去）所以，2-8=2xx两边平方得2-8-4=0xx解这个方程得1=4+25x2=4-25x检验：把1=4+25x2=4-25x代入原方程得，左边=右边所以，原方程的根是1=4+25x2=4-25x【变式】x2+3x－1x6x22=1【答案与解析】1=-4x2=1x设2+3yxx换元后，整理得方程是-2+1=1yy解得1=4y2=0y所以，2+3=4xx，2+3=0xx解这两个方程得1=-4x2=1x3=-3x4=0x检验：把1=-4x2=1x3=-3x4=0x代入原方程得，1=-4x2=1x是原方程的跟所以，原方程的根是1=-4x2=1x【总结升华】①无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围（如：,22但22)2(2），因此可能产生增根，必须进行检验；②将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法.