复变函数第三章答案

第三章复变函数的积分1.计算积分dCIzz=∫，其中积分路径C是：（1）直线段1,1−�����；（2）从1−到1的上半单位圆周1z=；（3）从1−到1的下半单位圆周1z=.解（1）直线段1,1−�����的参数方程为：1(1)112zttt=−⋅−+⋅=−+（01t≤≤），所以，()()1201d122d200CIzztttt==−+=−+=∫∫。（2）1−到1的上半单位圆周1z=的参数方程为：izeθ=（0θπ≤≤），所以，00dddiiCIzzeieiiθθππθθπ−====−∫∫∫。（3）1−到1的下半单位圆周1z=的参数方程为：izeθ=（0πθ−≤≤），所以，00dddiiCIzzeieiiθθππθθπ−−−====∫∫∫。2.计算积分ImdCIzz=∫，其中积分路径C是：（1）按逆时针从1到1的单位圆周1z=；（2）直线段,ab����（,ab∈ℂ）.解（1）单位圆周1z=的参数方程为：izeθ=（02θπ≤≤），所以，()2220022200Imdsindsincossindsincosdsind.iCIzzieiiiππθππθθθθθθθθθθθπ===+=−=−∫∫∫∫∫（2）直线段,ab����的参数方程为：(1)()zatbtabat=⋅−+⋅=+−⋅（01t≤≤），所以，()()10ImdImIm()dCIzzabatbat==+−⋅−∫∫()()()11ImIm()Im22baababaab⎛⎞=−+−=−+⎜⎟⎝⎠。3.计算下列积分：11dCIzza=−∫，2dCIzaz=−∫，其中积分路径C是圆周zaR−=上从点1iAaReθ=+⋅按逆时针到点2iBaReθ=+⋅的一段弧（1202θθπ≤≤）；解C的参数方程为：izaReθ=+⋅（12θθθ≤≤），所以，221112111ddd()iiCIziReiizaReθθθθθθθθθθ==⋅⋅==⋅−−⋅∫∫∫，221122221ddd()iiCIzazReiReRiiRθθθθθθθθθθ−=−=⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅−∫∫∫。4.计算积分：1dCIzz=∫，其中积分路径C是圆环形闭区域{}12zz≤≤位于第一象限部分的边界，方向为逆时针.解如第4题图，211,22,CCiiC+−=+++�������，其中1,2���：1zt=+（01t≤≤），2,ii����：2(1)(2)zititti=⋅−+⋅=−（01t≤≤）；1C−：1z=；2C+2z=。所以，1112211ddd(1)12CCCzzzzzizzz−−−===−=⋅∫∫∫，()()22222111ddd22148CCCzzzzzizzz+++===−=−⋅∫∫∫，11,2011ddln21zttz==+∫∫����，112,0011dddln22(2)iiiztttzti−===−−∫∫∫����。211,22,11111dddddln2(1)ln212ln2.CCiiCIzzzzzzzzzz+−==+++=+−++=∫∫∫∫∫��������5.（1）计算下列积分11d1CIzz=−∫，221d(1)CIzz=−∫，其中积分路径C是从2到3的任意不过1简单光滑曲线；（2）试归纳出积分1d(1)nnCIzz=−∫（n∈ℤ），一般的结果，其中积分路径C是从2到3的任意不过1简单光滑曲线.解（1）先计算221d(1)CIzz=−∫：由于21(1)z−在\{1}ℂ内存在单值的原函数11z−−，所以，由复积分的牛顿—莱布尼茨公式，22311111d2(1)113122CIzzz==−=−=−−−−∫。再计算11d1CIzz=−∫：由于11z−在\{1}ℂ内不存在单值的原函数，所以我们不能直接用复积分的牛顿—莱布尼茨公式计算。下面，根据从2到3的积分路线C的不同情况分两种情形来计算此积分：情形情形情形情形ⅠⅠⅠⅠ：：：：积分路线C如第5题图（a），补充有向直线段2,3����，显然3,2C+����构成简单闭曲线，并且1既不在3,2C+����的内部，也不在3,2C+����上，所以11z−在3,2C+����所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定理3,21d01Czz+=−∫����，从而13,22,32,31111dddd1111CCIzzzzzzzz+==+=−−−−∫∫∫∫������������,再注意到直线段2,3����的参数方程为：zx=，其中23x≤≤，可得33122,3211ddln(1)ln211Izxxzx===−=−−∫∫����．情形情形情形情形ⅡⅡⅡⅡ：：：：积分路线C如第5题图（b），此时C仅围绕1按逆时针转一周，补充有向直线段2,3����，显然3,2C+����构成简单闭曲线，并且1在3,2C+����的内部，所以3,21d21Czizπ+=−∫����，同理如果C仅围绕1按顺时针转一周，有3,21d21Czizπ+=−−∫����，于是13,22,32,31111ddd2d2ln21111CCIzzzizizzzzππ+==+=±+=±+−−−−∫∫∫∫������������．积分路线如第5题图（c），此时C仅围绕1按逆时针转两周，补充有向直线段2,3����，显然3,2C+����构成闭曲线（非简单），此时3,2C+����可分解成两个简单闭曲线�22MA和�33AN，类似于上面的情形，有�221d21MAzizπ=−∫，�331d21ANzizπ=−∫，于是由复积分的曲线可加性��3,22233111ddd22111CMAANzzzizzzπ+=+=⋅−−−∫∫∫����，同理如果C仅围绕1按顺时针转两周，有()3,21d221Czizπ+=⋅−−∫����，故()()13,22,32,3111ddd111122d22ln2.1CCIzzzzzzizizππ+==+−−−=⋅±+=⋅±+−∫∫∫∫������������类似的方法，当C仅围绕1按逆时针或顺时针转k周时，同理可得()3,21d21Czkizπ+=⋅±−∫����，其中逆时针时取正号．于是()()13,22,32,3111ddd11112d2ln2.1CCIzzzzzzkizkizππ+==+−−−=⋅±+=⋅±+−∫∫∫∫������������综上所述，()11d2ln21CIzkizπ==⋅±+−∫（0,1,2,k=⋯）。（2）当1n≠时，1(1)nz−在\{1}ℂ内存在单值的原函数11(1)1nzn−⋅−−，所以，由复积分的牛顿—莱布尼茨公式，()111311111d(1)2112(1)1112nnnnnCIzzznnn−−−⎛⎞==⋅−=−=−⎜⎟−−−−⎝⎠∫。所以，()12ln2,1111,112nnkinInnπ−⎧⋅±+=⎪=⎨⎛⎞−≠⎜⎟⎪−⎝⎠⎩。6.设�0,1C=是不过点i±的简单光滑曲线，证明：21d14CIzkzππ==++∫（0,1,2,k=±±⋯）.证明因为211111()1()()2zziziizizi==−++−−+，下面根据从0到1的积分路线C的不同情况分四种情形来证明结论：情形情形情形情形ⅠⅠⅠⅠ：：：：积分路线C如第6题图（1），补充有向直线段1,0���，显然1,0C+���构成简单闭曲线，并且i±既不在1,0C+���的内部也不在1,0C+���上，所以211z+在1,0C+���所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定理21,01d01Czz+=+∫����，从而1222201,00,10,11111dddd1111Czzzzzzzz+=+=++++∫∫∫∫������������再注意到直线段0,1���的参数方程为：zx=，其中01x≤≤，可得111022200,10111dddarctan1114zzxxzzxπ====+++∫∫∫����．情形情形情形情形ⅡⅡⅡⅡ：：：：积分路线如第6题图（2）的（a），此时C仅围绕i按逆时针转一周，补充有向直线段1,0���，显然1,0C+���构成简单闭曲线，并且i在1,0C+���的内部，而i−既不在1,0C+���的内部也不在1,0C+���上，所以21,01,011111d()d(2)122CCzziziziziiππ++=−==+−+∫∫��������，同理如果C仅围绕i按顺时针转一周，有21,01,011111d()d(2)122CCzziziziziiππ++=−=−=−+−+∫∫��������，于是1222201,00,10,11111dddd11114Czzzzzzzzπππ+=+=±+=±++++∫∫∫∫������������．积分路线如第6题图（2）的（b），此时C仅围绕i按逆时针转两周，补充有向直线段1,0���，显然1,0C+���构成闭曲线（非简单），此时1,0C+���可分解成两个简单闭曲线�00nA和�1AmA，类似于上面的情形，有��2000011111d()d(2)122nAnAzziziziziiππ=−==+−+∫∫，��21111111d()d(2)122AmAAmAzziziziziiππ=−==+−+∫∫，于是由复积分的曲线可加性��2221,0001111ddd2111CnAAmAzzzzzzπ+=+=+++∫∫∫����同理如果C仅围绕i按顺时针转两周，有��()2221,0001111ddd2111CnAAmAzzzzzzπ+=+=⋅−+++∫∫∫����，故()()1222201,00,10,11111ddd2d211114Czzzzzzzzπππ+=+=⋅±+=+⋅±++++∫∫∫∫������������．类似的方法，当C仅围绕i按逆时针或顺时针转k周时，同理可得()21,01d1Czkzπ+=±+∫����，其中逆时针时取正号。于是()()1222201,00,10,11111dddd11114Czzzkzkzzzzπππ+=+=±+=+±++++∫∫∫∫������������．情形情形情形情形ⅢⅢⅢⅢ：如第6题图（3），当C仅围绕i−按逆时针或顺时针转k周时，补充有向直线段1,0���，类似于情形情形情形情形ⅡⅡⅡⅡ，可得()21,01d1Czkzπ+=±+∫����，其中逆时针时取负号．于是()()1222201,00,10,11111dddd11114Czzzkzkzzzzπππ+=+=±+=+±++++∫∫∫∫������������．情形情形情形情形ⅣⅣⅣⅣ：：：：如第6题图（4），当C同时围绕i和i−按逆时针或顺时针转k周时，补充有向直线段1,0���，此时1,0L+���构成闭曲线（不一定是简单的），但它可以分解成有限个（不妨设为k个）同时按逆时针围绕i和i−的简单闭曲线iC，1i=,2,⋯,k．由于211111d()d(22)0122iiCCzziiziziziiππ=−=−=+−+∫∫，所以221,0111dd011ikCCizzzz+===++∑∫∫����，于是1222201,00,10,11111ddd0d11114Czzzzzzzzπ+=+=+=++++∫∫∫∫������������．综上所述，我们有1201d14zkzππ=++∫（0k=，1±，2±，⋯）．7.计算下列积分：（1）�cosd2ABzz∫，其中�AB是从0到3的光滑简单曲线；（2）�2(3+2+1)dABzzz∫，其中�AB是从0到2aπ的光滑简单曲线.解（1）因为cos2z的原函数为2sin2z，所以，由复积分的牛顿—莱布尼茨公式，�33cosd2sin2sin0222ABzzz==∫。（2）因为23+2+1zz的原函数为32zzz++，所以，由复积分的牛顿—莱布尼茨公式，�()23233222(3+2+1)d8420ABazzzzzzaaaππππ=++=++∫。8.计算积分1dCIzz=∫，21dCIzz=∫，3diCIzz=∫其中积分路径C是按逆时针从1到1的单位圆周1z=，z和iz均表示以[0,)+∞为割线且在割线上沿1处的值为1的解析分支.解（1）因为2()3zzz′=，由复积