3.2一元二次不等式及其解法第二课时+

3.2一元二次不等式及其解法zxxkw定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。22000)axbxcaxbxc即：或（a一元二次不等式判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c的图象(a0)ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(y0)的解集ax2+bx+c0(y0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1ab2ab2函数、方程、不等式之间的关系y0y0y0y0例1.解不等式2x2－3x－20.解:因为△=(-3)2-4×2×(-2)0,方程的解2x2－3x－2=0的解是121,2.2xx所以,原不等式的解集是.2,21|xxx或先求方程的根然后想像图象形状注:开口向上,大于0解集是大于大根,小于小根若改为:不等式2x2－3x－20.122x则不等式的解集为:注:开口向上,小于0解集是大于小根且小于大根-23图象为:小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式其方法步骤是:(1)先求出Δ和相应方程的解，(2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。若a0时,先变形!若a0时,先变形!zxxkw再看一例练习1.解不等式4x2－4x＋10解:因为△=0,方程4x2－4x＋1=0的解是，2121xx所以,原不等式的解集是21|xx注:4x2－4x＋10无解例4.解不等式－x2＋2x－30略解:－x2＋2x－30x2-2x+30无解注:x2-2x+30Rx学科网练习：不等式的解集为02cbxx},13{xxx或求b与c.11axbxxab232不等式++20的解集是{|-x},试求，3,2cb例1.x2+5ax+60解：由题意，得：⊿=25a2－241.当⊿=25a2－240，;22224525224525aaxaaxx或2.当⊿=25a2－24=0，3.当⊿=25a2－240,解集为：解集为：;25axRxx且时652652即a解集为：R.时652或652即aa时即652a二、典型题选讲（含参不等式的解法）变式1.x2+5ax+6a20解：因式分解，得:（x+3a)(x+2a)0，方程（x+3a)(x+2a)＝0的两根为－3a、－2a.①当－3a－2a即a0时，解集为：{x︱x－3a或x－2a};②当－3a=－2a即a=0时，解集为：{x︱x∈R且x≠0}；③当－3a－2a即a0时，综上：当a0时，解集为：{x︱x－2a或x－3a}.当a=0时，解集为：{x︱x∈R且x≠0};当a0时，解集为：{x︱x－3a或x－2a};解集为：{x︱x－2a或x－3a}.原不等式为x20学科网0)1)(1(2xaxx的不等式解关于变式变式3.ax2+(6a+1)x+60二、当a≠0时，6|解集为xx①当a0时，,01aaxx16解集为一、当a=0时，②当a0时，01a⑴时61即6,1当aa6或1:解集为xaxx⑶⑵时即当616,1aa6或:解集为xRxx时即当6106,1aaaxxx1或6:解集为6,1两根为061方程axax的∴综上，得;1x6x0.1aa时，解集为当;10.2xxa解集为时当，;1或6解集为时610当.3axxxa，;661.4xRxxa且解集为时当，.6161.5xaxxa或时，解集为当06x1x因式分解，得：a04)1(242xaaxx的不等式解关于变式注：解形如ax2+bx+c0的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；1．不等式2x2－x－10的解集是()A.－12，1B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.－∞，－12∪(1，＋∞)D2．已知函数f(x)＝1，x≤0－x＋2，x＞0，则不等式f(x)≥x2的解集是()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2]A3．f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)0，则a的取值范围是________．(－4,0]解析：由题意知A＝{x|－1x3}，B＝{x|－3x2}，∴A∩B＝{x|－1x2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1,2.∴－1＋2＝－a，－1×2＝b.∴a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.答案：A【典例剖析】已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集为B，不等式x2＋ax＋b0的解集为A∩B，则a＋b等于（）A．－3B．1C．－1D．3一元二次不等式的解法•(1)解一元二次不等式时应根据二次不等式与二次函数、二次方程间的联系，结合图象求解．•(2)左边能分解因式的一元二次不等式，可结合韦达定理确定各次项系数。•1.已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x4}，则不等式cx2＋bx＋a0的解集为________．解析：由题意知2,4是方程ax2＋bx＋c＝0的解，且a0.即b=-6a,c=8a∴不等式cx2＋bx＋a0即为8ax2－6ax＋a0，∴8x2－6x＋10，∴.8,6acab解得x或x.2141【活学活用】4121|xxx或解集为【典例剖析】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.含参数的一元二次不等式的解法解：①当a＝0时，不等式的解集为{x|x1}；②当a≠0时，不等式化为ax－1a(x－1)0.(ⅰ)当a0时，原不等式等价于x－1a(x－1)0，不等式的解集为{x|x1或x1a}；(ⅱ)当0a1时，11a，不等式的解集为{x|1x1a}；(ⅲ)当a1时，1a1，不等式的解集为{x|1ax1}；(ⅳ)当a＝1时，不等式的解集为；综上所述，当a0时，不等式的解集为－∞，1a∪(1，＋∞)；当a＝0时，解集为(1，＋∞)；当0a1时，解集为1，1a；当a＝1时，解集为；当a1时，解集为1a，1.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.•(1)确定讨论对象；•(2)确定分类标准，进行合理分类，不重不漏；•(3)对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；•(4)归纳总结，综合得出结论．二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．解答分类讨论问题的方法和步骤：•【活学活用】•解不等式2x2＋4x＋a0(a∈R)．•解：∵Δ＝16－8a，•①当Δ0时，即a2时，解集为R；•②当Δ＝0时，即a＝2时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；③当Δ0时，即a2，此时由2x2＋4x＋a＝0知x1＝－2＋4－2a2，x2＝－2－4－2a2.∴解集为{x|x－2＋4－2a2或x－2－4－2a2}.一元二次不等式的综合应用及恒成立问题【典例剖析】已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．①当m＝0时，原不等式为－2x－10，不恒成立．当m≠0时，由不等式恒成立，得m＜0Δ＝4－4m1－m＜0此不等式组无解。综上可知不存在m使mx2－2x－m＋10恒成立.已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．解析：②设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时在x轴下方，∴f－2＜0f2＜0即－2x2－2x＋3＜02x2－2x－1＜0解①得x＜－1－72或x＞－1＋72，解②得1－32＜x＜1＋32.由上式求交集得－1＋72＜x＜1＋32.∴x的取值范围为{x|－1＋72＜x＜1＋32}已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.①若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；②设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．【活学活用】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈0，12都成立，则a的最小值为()A．0B．－2C．－52D．－3解析：由已知得a≥－x－1x在x∈0，12上恒成立，而当x∈0，12时，－x－1xmax＝－52.∴a≥－52，故a的最小值为－52.答案是C•设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是________．将恒成立问题转化为最值问题，通过分离参数来解决．解析：因为f(mx)＋mf(x)＝2mx－1mx－mx0，x∈[1，＋∞)，显然m≠0，(1)当m0时，2x－1x1m2x，∵x≥1，∴2x2－11m2，因为当x∈[1，＋∞)时，2x2－1∈[1，＋∞)，故此式对于任意x∈[1，＋∞)不恒成立．设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：(2)当m0时，2x－1x1m2x，∴2x2－11m2，而当x∈[1，＋∞)时，2x2－1≥1，∴1m21，解得m－1或m1，又m0，∴m－1.综上m的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是________．（1）二次不等式ax2+bx+c0恒成立例题：已知关于x的不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立，解：由题意知：①当a-2=0，即a=2时，不等式化为②当a-2≠0，即a≠2时，原题等价于220(2)4(2)0aaa综上：试求a的取值范围.1≥0，它恒成立，满足条件.2(2)(6)0aaa即226aa即26a所以26a知识概要（2）二次不等式ax2+bx+c0恒成立2040abac2040abac（3）二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立2040abac（4）二次不等式ax2+bx+c≤0恒成立0402acba(二)含参不等式恒成立的问题三、课堂小结1、解含参数的不等式2、已知不等式的解集，求参数的值或范围不等式中的恒成立问题一、内容分析二、运用的数学思想1、分类讨论的思想3、等与不等的化归思想2、数形结合的思想用图象分离参数后用最值函数、、、321学.科.网一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.小结：学.科.网