分形几何

分形理论及其在岩石力学方面的应用推荐书目：分形-岩石力学导论；谢和平著；科学出版社；1目录•1概要•1.1什么是分形及分形的定义•1.2分形的自相似性•2分形维数•2.1分形维数•2.2分形维数的计算•2.3几种典型的分形•3分形理论在岩石力学方面的应用2•在1967年曼德布罗特（Mandelbrot）在《科学》上发表题为《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的著名论文，标志着分形理论思想的诞生，他于1982年出版的《大自然的分形几何学》(TheFractalGeometryofNature)是这一学科经典之作。•在1986年曼德布罗特（Mandelbrot）给分形做了如下的定义：局部与整体以某种方式相似的形叫分形。1概要1.1分形的诞生及分形的定义3菜花的分形特征1概要4•叶片的分形结构特征：51概要1.2分形的自相似性•自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。•人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。Page61概要•维数是指用于描述空间中一个点的位置所需要的独立坐标数目或者连续参数的最小数目。在欧氏几何中，人们习惯把空间看成三维的，把平面看成二维，把线看成一维，点是零维的，通常还将用于描述时空所需要的最小独立坐标维数定为四维。可见通常人们习惯于整数的维数。•而分形维数所考虑的是存在于各种整数维数间的状况，即分数维数。2分形维数72.1分形维数2.2分形维数的计算•一、分形维数的计算方法•1、比尺寸法•2、覆盖法•1）平面正方形网格覆盖法（岩体裂隙的分形特征及裂隙分布的分形特征）•2）圆形覆盖法（星球的分布）•3）立方体网格覆盖法（岩体断裂面粗糙度研究）82分形维数1比尺寸法•英国海岸线长度的测量：•(1)92分形维数log)/log(1/)DNLL（2覆盖法•平面正方形网格覆盖法：•（2）102分形维数log/log(1/)DN（）2覆盖法•圆形覆盖法：•（3）112分形维数log/log(1/)DNrr（）2覆盖法•立方体网格覆盖法（Directestimationofthefractaldimensionsofafracturesurfaceofrock；zhouandxie;2003）：•（4）122分形维数log/log(1/)DN（）2.3几种典型的分形及其维数的计算•1、三分康托集•设E0是单位长直线段，E1是由E0除去中间1／3的线段所得到图形,它包含两个线段，对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2，依此类推。于是得到一个曲线序列{Ek}，其中Ek是把Ek-1的每一个直线段中间1／3除去而得到的，当k充分大时，曲线Ek和Ek-1只在精细的细节上不同，当k→∞时，曲线序列{Ek}趋于一个极限曲线F，则称F为康托尔三分集。132分形维数n=1,r=(1/3)^1,N=2^1n=2,r=(1/3)^2,N=2^2n=3,r=(1/3)^3,N=2^3n=0,r=(1/3)^0,N=2^0…………142分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算1、三分康托集•1、三分康托集•根据上面的分析可得：•在三分康托集中，N(r)=2^n,r(N)=(1/3)^n，将其带入公式1中：•则可求得：•即：log(2^)/log(1/(1/3)^)Dnnlog2/log30.6309D152分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算•2、koch曲线•曲线的生成过程：•第一步：选取单位长直线段E0；•n=0,r=(1/3)^0,N=4^0•第二步：E1是由E0除去中间1／3的线段、而代之以底边在被除去的线段上的等边三角形的另外两条边所得到图形,它包含四个线段；•n=1,r=(1/3)^1,N=4^1.162分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算•2、koch曲线•第三步：重复第二步的操作•n=2,r=(1/3)^2,N=4^2•第四步：同样重复上一步的•操作。•n=3,r=(1/3)^3,N=4^3172分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算•2、koch曲线•根据上面的分析可得：•在koch曲线中，N(r)=4^n,r(n)=(1/3)^n，将其带入公式1中，可得：•即：log(4^)/log(1/(1/3)^)Dnnlog4/log31.2678D182分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算•2、koch曲线•将科赫曲线进行组合可以得到雪花状结构。192分形维数2.3几种典型的分形及其维数的计算3分形理论在岩石力学方面的应用•岩石作为一种脆性材料，其破坏过程实际就是内部裂隙的产生、扩展、合并直至贯通的过程。通过研究发现岩石的裂隙具有自相似性，可以运用分形的方法对其进行研究。•因此可以通过分析在不同应力作用下岩石破坏过程中产生裂隙的分形特点，并计算其分形维数，来研究岩石破坏过程中产生裂隙的分形维数与应力间的关系。201、岩体裂隙的分形特征研究（岩石裂纹的分形特征及岩爆机理研究）•岩体在应力作用下，裂隙的发展如图1所示：图1在应力作用下，岩石裂隙的产生应力裂隙213分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究岩石试件223分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究•在不同压力情况下的岩体裂隙情况图：•a当压力为79.8MPa时：233分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究•在不同压力情况下的岩体裂隙情况图：•a当压力为88.4MPa时：243分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究•在不同压力情况下的岩体裂隙情况图：•a当压力为94.4MPa时：•利用正方形网格覆盖法，测量各裂隙的维数：253分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究0204060801000246Z,mmY,mm0204060801000246Z,mmY,mm•通过研究发现：•裂纹生成与扩展的分形维数值受裂纹尖端处剪切应力大小的影响，剪应力越大，裂纹越复杂，分形维数值越高；剪应力越小，分形维数值越低。263分形理论在岩石力学方面的应用1、岩体裂隙的分形特征研究•岩体断裂面273分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究……岩石受力不同时，形成不同形态的断裂表面表面粗糙度示意图•岩体断裂表面的粗糙度被认为是影响岩石力学性质的重要参数之一。以往许多学者也都提出了很多描述岩体断裂表面粗糙度的方法和参数。如右图所示Barton等人提出的JRC模型。283分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究•运用分形维数来定量的描述岩体断裂面的粗糙度：•剖线法293分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究•运用分形维数来定量的描述岩体断裂面的粗糙度：•立体网格覆盖法303分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究•运用分形维数来定量的描述岩体断裂面的粗糙度：•立体网格覆盖法313分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究•运用分形维数来定量的描述岩体断裂面的粗糙度：•立体网格覆盖法•其计算公式：323分形理论在岩石力学方面的应用2、岩体断裂面的分形特征研究()~DN汇报结束谢谢！33