空间中的平行关系(1)

空间中的平行关系（1）1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质2.平面与平面平行的判定与性质判定定理性质定理文字语言如果一个平面内有两条都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线．图形语言相交直线平行符号语言aαbαa∩b＝Aa∥βb∥β⇒α∥βα∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒b∥a[基础自测]1．(教材改编题)若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、异面直线都有可能解析：本题引入正方体模型观察即易知直线a与直线c的位置关系可能为相交、平行、异面，故选D.答案：D2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面或垂直，所以A不正确，B、D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．答案：A3．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4解析：a∩α＝A时，a⃘α，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一直线都无公共点，③正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴④正确．答案：B4．设α，β是两个不重合的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列条件：①α，β都平行于直线a，b；②a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β；③若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α；b∥β.其中可判定α∥β的条件的序号为________．解析：①、②中的平面可能平行、相交，故不正确；③因为a、b相交，可设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，故③正确．答案：③5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，且AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．考点一线面平行的判定及性质[例1]如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：MN∥AB；(2)求证：CE∥面PAD.审题视点(1)由中点联想中位线MN∥DC∥AB.(2)可在PAD中寻作与CE平行的线，或者利用面CEF∥面PAD，证CE∥面PAD.证明(1)∵M、N为PD、PC的中点，∴MN∥DC，又∵DC∥AB，∴MN∥AB.(2)证法一：如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.图(1)因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝12AB.所以EH∥CD，EH＝CD.所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE∥平面PAD.证法二：如图(2)，连接CF.图(2)因为F为AB的中点，所以AF＝12AB.又CD＝12AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．(2)证明直线与平面平行的方法：①利用定义结合反证；②利用线面平行的判定定理；③利用面面平行的性质．1．过长方体ABCD­A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．解析：如图，与AC平行的直线有4条，与AA1平行的直线有4条，连接MN，则MN∥面ACC1A1，这样的直线也有4条(包括MN)，共12条．答案：122．如图，在几何体A­BCDEF中，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)若AF∥DE，DE＝3AF，点M在线段BD上，且BM＝13BD，求证：AM∥平面BEF.证明：(1)因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又BD∩DE＝D，从而AC⊥平面BDE.(2)延长EF、DA交于点G，连接GB，因为AF∥DE，DE＝3AF，所以GAGD＝AFDE＝13，因为BM＝13BD，所以BMBD＝13，所以BMBD＝GAGD＝13，所以AM∥GB，又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM∥平面BEF.