两角和与差的余弦公式

13:42:5913:42:59cosθbaba其中θ∈[0，π]2121yyxxba11,yxa22,yxb两个向量的数量积温故知新13:42:59一、新课引入问题1:cos15°＝？cos75°=？问题2:cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°－cos30°?cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°+cos30°？cos(α-β)=cos(α+β)=??13:42:59探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？cos()思考1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.13:42:59〖探究1〗cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系？发现：cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系sin)2cos()cos(,2令则令,则cos)cos()cos(令令,2,则则sin)2cos()cos(cos)cos()cos(13:42:59sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)323232321212123212思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？1213:42:59从表中,可以发现:cos(60°－30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想，对任意角α，β有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ13:42:59xyPP1MBOACsincoscoscos+11〖探究2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式coscos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβsinsin13:42:59-111-1α-βBAyxoβαcossinOAα,αcossinOBβ,β)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos∵∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ13:42:59思考：以上推导是否有不严谨之处？当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0，π]，则)cos(cosOBOA若θ∈[π,2π)，则2π-θ∈[0，π]，且OBOAcos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)13:42:59〖探究3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？()Ccoscoscossinsin注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角，公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝等．上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”2213:42:59〖公式应用〗引例:求cos15°的值.分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=13:42:59运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；(2)cos7°－sin15°sin8°cos8°.【思路探究】(1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解.(2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决.13:42:59【自主解答】(1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(2)原式＝cos15°－8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°cos8°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.13:42:591.两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.13:42:59求下列各式的值：(1)cos75°；(2)cos75°cos15°－sin255°sin15°.【解】(1)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(2)cos75°cos15°－sin255°sin15°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.13:42:59给值求值设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值.【思路探究】由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦.只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围.用两角和与差的三角函数公式展开即得结论.13:42:59【自主解答】∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2.又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin2α2－β＝53.13:42:59∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝－19×53＋459×23＝7527.13:42:591.利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.2.在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等.13:42:59α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cosα的值.【解】∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，13:42:59∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.13:42:59忽略角的范围限制的隐含条件致误已知α，β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值.13:42:59【错解】∵cosβ＝1010，sinα＝55，α，β为锐角，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22，又∵α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝π4或α－β＝－π4.13:42:59【错因分析】错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系.【防范措施】已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解.13:42:59【正解】∵cosβ＝1010，sinα＝55，α，β为锐角，∴sinβ＝31010，cosα＝255.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sinα＜sinβ，∴α＜β.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.13:42:59对公式C(α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开.因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α，β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.13:42:59(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.②把所得的积相加.13:42:59【备选变式】在△ABC中，已知tanAtanB＜1，判断△ABC的形状..cos,135cos,53sinCBAABC求中，已知三角形13:42:59