2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.a为正实数，i为虚数单位，i2ia，则a()A.2B.3C.2D.1【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】∵2ii1i,1i12iiaaaaa,233aa.故选B2.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若INMð，则NM()A.MB.NC.ID.【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）.【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】INMð即是N是M的真子集，MNM.3.已知F是抛物线2yx的焦点，A，B是该抛物线上的两点，=3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到y轴的距离.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵F是抛物线2yx的焦点F（1,04）准线方程14x(步骤1)设A11(,)xy,B22(,)xy∴|AF|+|BF|=121144xx=3解得1252xx（步骤2）∴线段AB的中点横坐标为54∴线段AB的中点到y轴的距离为54.（步骤3）4.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab()A．23B．22C．3D．2【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵2sinsincosaABbA=2a∴由正弦定理可知22sinsinsincosABBA=2sinA（步骤1）∴22sinsincossinBAAB（）=2sinA∴sin2sinBbAa.（步骤2）5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=()A.18B.14C.25D.12【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求(|)PBA.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴()PA=25.（步骤1）事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴()PAB=110（步骤2）∴(|)PBA=()1()4PABPA．（步骤3）6.执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是()A.8B.5C.3D.2第6题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1（步骤1）k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2（步骤2）k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3（步骤3）k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3.（步骤4）7.设sinπ1+=43（），则sin2()A.79B.19C.19D.79【测量目标】三角函数的诱导公式.【考查方式】给出三角函数的等式，求解sin2的值.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由sin（π4）=sinπ4cos+cosπ4sin=22（sin+cos）=13，（步骤1）两边平方得：1+2sincos=29，即2sincos=79，则sin2=2sincos=79．故选A.（步骤2）8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是()A.AC⊥SBB.AB平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角第8题图【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，AC,则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；（步骤1）∵ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，∴AB平面SCD，故B正确；（步骤2）∵SD⊥底面ABCD，ASO是SA与平面SBD所成角，CSO是SC与平面SBD所成的角，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；（步骤3）∵ABCD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；（步骤4）9.设函数122,1()1log,1xxfxxx„，则满足()2fx„的x的取值范围是()A.1[，2]B.[0，2]C.[1，+]D.[0，+]【测量目标】指数函数与对数函数化简.【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】当1x„时，122x„的可变形为11,0xx剠，01x剟．（步骤1）当x＞1时，21log2x„的可变形为12x…，∴x＞1，故x的取值范围[0，+∞）．（步骤2）10.若a，b，c均为单位向量，且0ab，()()0„acbc，则||abc的最大值为()A.12B.1C.2D.2【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】∵2()()0()0剟acbcabcabc又∵,,abc为单位向量，且ab=0，∴()1…cab，（步骤1）而222222()abcabcabcab=32()321„cab.∴abc的最大值为1．（步骤2）11.函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意xR，2)(xf，则42)(xxf的解集为()A.（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）【测量目标】利用导数求函数的单调区间.【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集.【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】设()()(24),(1)(1)(24)0FxfxxFf则又对任意,()2,()()20xfxFxfxR，即()Fx在R上单调递增，则()0Fx的解集为（1，+∞），即()24fxx的解集为（1，+∞）．故选B12.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥S—ABC的体积为()A．33B．32C．3D．1【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积.【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】设球心为点O，作AB中点D，连接SD，CD,因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90,所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30，得：AC=2，SA=23（步骤1）又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30，得：BC=2，SB=23则SA=SB，AC=BC（步骤2）因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=223351242SAAD,在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=22313442ACAD（步骤3）又SD交CD于点D，所以AB⊥平面SCD,即棱锥SABC的体积：V=13SCDABS△.（步骤4）因为SD=352，CD=132，SC=4,由余弦定理得：cos∠SDC=2221()2SDCDSCSDCD-=4513(16)4411351365222则sin∠SDC=81cos65SDC（步骤5）由三角形面积公式得△SCD的面积S=12SDCDsin∠SDC=3（步骤6）所以棱锥SABC的体积：V=13ABS△SCD=13333.（步骤7）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知点（2，3）在双曲线C：22221(0,0)xyabab上，C的焦距为4，则它的离心率为．【测量目标】双曲线简单几何性质.【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率.【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】∵22221xyab，C的焦距为4，∴F1（2，0），F2（2，0），∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a=22(22)(3)32，∴a=1，∴e=ca=2．14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：321.0254.0ˆxy．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出线性回归方程式，x的增加一定值求y增加的值.【难易程度】容易【参考答案】0.254【试题解析】∵对x的回归直线方程．∴1ˆy=0.254（x+1）+0.321，∴12ˆˆyy=0.254（x+1）+0.3210.254x0.321=0.254.15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．第15题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积.【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a，由题意可知33234a,所以a=2，底面三角形的高为3，所以左视图矩形的面积为2×3=23．16.已知函数)(xf=Atan（x+）（π0,||2），y=)(xf的部分图象如下图，则π()24f．第16题图【测量目标】()tan()fxAx的图象与性质.【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】由题意可知A=1，T=π2，所以=2，函数的解析式为：()tan(2)fxx因为函数过（0，1），所以，1=tan，所以=π4，所以π()tan(2)4fxx则fπ()24=tan（ππ124）=3.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列12nna的前n项和．【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式na与前n项和nS的关系.【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n项和.【难易程度】容易【试题解析】（I）设等差数列{}na的公差为d，由已知条件可得110,21210,adad解得11,1.ad故数列{}na的通项公式为2.nan（步骤1）（II）设数列1{}2nna的前n项和为nS，即211,22nnnaaSa故11S（步骤2）12.2242nnnSaaa所以，当1n时，1211111222211121()2422121(1)22nnnnnnnnnnnSaaaaaSann=.2nn（步骤3）所以1.2n