三角函数的两角和与差

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①C(α-β):cos(α-β)=______________________.②C(α+β):cos(α+β)=______________________.③S(α+β):sin(α+β)=______________________.④S(α-β):sin(α-β)=______________________.cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ⑤T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z).⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠+kπ,k∈Z).tantan1tantan2tantan1tantan2(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①S2α:sin2α=____________.②C2α:cos2α=_____________=_________=_________.③T2α:tan2α=_______(α≠±+kπ,且α≠kπ+,k∈Z).2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α22tan1tan422.必备结论教材提炼记一记(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=(2)升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:整体代入法,配凑法.(2)数学思想:转化化归思想.1cos2α21cos2α.2(3)记忆口诀:余余正正符号异,正余余正符号同,二倍角,数余弦,找联系,抓特点,牢记忆,用不难.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.()(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()tantan1tantan【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.(2)正确.如取β=0,因为sin0=0,所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.(4)正确.当α=kπ(k∈Z)时,tan2α=2tanα.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√22.教材改编链接教材练一练(1)(必修4人教AP130例4T(1)改编)sin108°cos42°-cos72°sin42°=.【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:1212(2)(必修4人教AP137A组T5改编)已知则cosα=______.π4π5cos(α),απ6536，【解析】因为答案：π5απ,362πππ4απ,cos(α),2665ππ3sin(α)1cos(α),665ππcosαcos[(α)]66ππππcos(α)cossin(α)sin66664331343.525210所以又所以所以343103.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x,所以函数的最小正周期T=.答案:π2π2(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.【解析】因为f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ=sinx≤1.所以f(x)max=1.答案:1考点1化简与计算【典例1】(1)(2015·合肥模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)计算tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=.(3)的化简结果是.322cos821sin8【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简.(2)观察式子的特点,逆用两角和的正切公式计算.(3)应用二倍角的正、余弦公式化简.【规范解答】(1)选D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)因为tan(25°+35°)=所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°)=-tan25°tan35°,所以tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=-tan25°tan35°+tan25°tan35°=.答案:tan25tan351tan25tan35，33333333(3)原式==2|cos4|+2|sin4-cos4|,因为所以cos40,且sin4cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.答案:-2sin4224cos42(sin4cos4)＋－53π4π,42【易错警示】解答本例(3)有三点容易出错:(1)想不到应用二倍角公式,不能把根号下的式子化为完全平方式.(2)把4°与4弧度混淆,导致开方出错.(3)忽略讨论cos4的符号及sin4与cos4的大小而直接开方导致出错.【互动探究】对于本例(2),试化简tanα+tan(60°-α)+tanαtan(60°-α).【解析】因为tan[α+(60°-α)]=所以tanα+tan(60°-α)=tan60°[1-tanα·tan(60°-α)]=-tanα·tan(60°-α),故原式=-tanα·tan(60°-α)+tanα·tan(60°-α)=.3tanαtan(60α),1tanαtan(60α)333333【规律方法】1.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值.(2)尽量使函数种数最少.(3)尽量使项数最少.(4)尽量使分母不含三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.2.特殊角的三角函数值的逆用当式子中出现这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示.可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出来,构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.131322，，，【变式训练】1.化简sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=.【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β)=sin[(α+β)+(γ-β)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)2.(2015·西宁模拟)计算:=.【解析】=tan(45°-15°)=tan30°=.答案:cos15sin15cos15sin15cos15sin151tan15cos15sin151tan153333【加固训练】1.化简的结果是()A.-cos1B.cos1C.cos1D.-cos1【解析】选C.原式=22cos2sin1332233sin13cos13cos1.＝＝2.化简：=_________.【解析】答案：ππππ8sincoscoscos48482412ππππ8sincoscoscos48482412πππ4sincoscos242412πππ12sincossin.121262123.计算=_____.【解析】因为tan(20°+40°)=所以tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°),所以原式=答案：-tan20tan40tan120tan20tan40tan20tan40,1tan20tan40331tan20tan4033.tan20tan403考点2三角函数求值【典例2】(1)(2015·临沂模拟)计算的值为()(2)计算:4sin40°-tan40°=.(3)(2015·成都模拟)计算cos40°(1+tan10°)=.22sin110sin20cos25sin251313A.B.C.D.22223【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,然后逆用二倍角公式求值.(2)切化弦,通分化简求值.(3)切化弦,通分,注意逆用两角和与差的三角函数公式.【规范解答】(1)选A.原式=sin9020sin20cos501sin40sin20cos2012.cos50cos502sin404sin40cos40sin4024sin40cos40cos402cos10sin10302sin80sin40cos40cos4031332cos10sin10cos10cos102222cos40原式－－－－sin10cos40313(cos10sin10)3cos40223.cos40cos403－答案：答案：1cos103sin10(3)cos40cos1013cos402(cos10sin10)22cos102cos40sin3010sin801.cos10cos10原式【一题多解】解答本例(2)，你还有其他解法吗？解答本例(2)还可有如下解法：原式=4sin40°-答案：sin404sin40cos40sin40cos40cos402sin5030sin402sin80sin40cos40cos402sin50cos302cos50sin30sin40cos403sin50cos50sin403cos403.cos40cos403【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧(1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式把大角统一到小角上来,或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和.(2)变名:尽可能使得函数统一名称,常化弦为切.(3)变式:观察结构,利用公式,整体化简.提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.【变式训练】(2015·南宁模拟)计算：=______.【解析】答案：223sin702cos10223sin703cos202cos102cos102232cos1012.2cos10【加固训练】1.(2015·昆明模拟)计算：=()A.4B.2C.-2D.-4【解析】选D.31cos10sin1703131cos10sin170cos10sin102sin10303sin10cos10sin10cos10sin10cos102sin202sin204.1sin10cos10sin2022.(2015·三明模拟)计算：＝________．1cos201sin10(tan5)2sin20tan5＋【解析】原式＝答案：22cos10cos5sin5sin10()22sin10cos10sin5cos522cos10cos5sin5cos1