2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学(理)试题(解析版)

第1页共17页2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|280}Axxx，集合1{|1}xBxe，则AB（）A．{|12}xxB．{|21}xxC．{|2}xxD．{|14}xx【答案】D【解析】分别解出集合A，B的元素，再由集合的交集运算得到结果.【详解】2{|280}{|(2)(4)0}Axxxxxx{|24}xx，{|1}Bxx，{|14}ABxx.故选：D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.2．实数x，y满足xy，则下列不等式成立的是（）A．1yxB．22xyC．lglgxyD．22xy【答案】B【解析】对于ACD选项，当x0,y0时，显然不成立；对于B可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x0,y0可得到1yx，而lg,lgxy没有意义，此时22xy故A不正确CD也不对；指数函数2xy是定义域R上的单调递增函数，又由xy，则xy，所以22xy.故B正确；故选B.【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者第2页共17页构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.3．已知关于x的方程22coscos2cos202CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．等边三角形【答案】B【解析】根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A＝B，即可确定出三角形形状．【详解】设已知方程的两根分别为x1，x2，根据韦达定理得：12xxcosAcosB＝，2212=1co2cos22s22CxxsCiCn∵x1+x212x1x2，∴2cosAcosB＝1﹣cosC，∵A+B+C＝π，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB＝1，即cos（A﹣B）＝1，∴A﹣B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．【点睛】此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：韦达定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知(cos,sin)a，3br，且2()3aab，则向量a与向量b的夹角为（）A．6B．56C．3D．23【答案】B【解析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】23aab第3页共17页203aab，即：2203aab又1a，32ab向量a与向量b的夹角的余弦为332cos,213ababab，向量a与向量b的夹角为：56故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．5．函数2()(2)4fxxx的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】先得到函数的定义域为：2x或2x≤，解方程()022.fxx或【详解】要使函数有意义，则240x，即2x或2x≤，由()02fxx或2x函数的零点个数为2个.故选：B.【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化.6．2|2|()logcosxfxx的部分图象大致为（）A．B．C．第4页共17页D．【答案】B【解析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．7．函数2lg106yxx的零点是1tanx和2tanx，则tan()（）A．53B．52C．52D．53【答案】B【解析】先由韦达定理得到tantan10tantan5，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为2lg(106)yxx的零点是1tanx和2tanx，所以1x，2x是方程21050xx的两个根，根据韦达定理得到tantan10tantan5,再由两角和的正切公式得到:tantan5tan()1tantan2.故选B.【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.8．ABC中，5AB，10AC，25ABAC，点P是ABC内（包括边界）的第5页共17页一动点，且32()55APABACR，则AP的最小值是（）A．41B．39C．3D．332【答案】C【解析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P所在的轨迹，进而得到结果.【详解】依题意1510cos25cos2ABACAA3A.由余弦定理得53BC，故ABC为直角三角形.设35ADAB，过D作'//DPAC，交BC于P'，过P'作'//EPAB，交AC于E.由于32()55APABACR，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P点位于线段'DP上，由图可知AP最短时为AD，所以3ADuuur.故选C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.9．设变量x，y满足约束条件2302401xyxyy，若目标函数(0,0)zaxbyab的最小值为1，则11ab的最小值为（）A．726B．722C．326D．322第6页共17页【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【详解】变量x，y满足约束条件2302401xyxyy的可行域如图，当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；∴2a+b＝1，11ab（2a+b）（11ab）＝32abba3+22abba3+22．故选：D．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10．若数列{}na为等差数列，{}nb为等比数列，且满足：12019aa，120192bb，函数()sinfxx，则10091011100910111aafbb（）A．32B．12C．32D．12【答案】C【解析】根据等差和等比数列的性质得到100910111009101113aaffbb进而得到结果.【详解】根据等差数列的性质得到1201910091011aaaa，根据等比数列的性质有100910111201910091011100910112;1aabbbbfbb332f.故本题选C.第7页共17页【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.11．将函数()4sin22fxx和直线()1gxx的所有交点从左到右依次记为1A，2A，…，nA，若P点坐标为(0,3)，则12...nPAPAPA（）A．0B．2C．6D．10【答案】D【解析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PAPAPAPA，进而得到结果.【详解】函数()4cos2fxx与()1gxx的所有交点从左往右依次记为1A、2A、3A、4A和5A，且1A和5A，2A和4A，都关于点3A对称，如图所示：则1253...55(1,3)PAPAPAPA，所以12...10nPAPAPA.故选：D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.12．对于数列{}na，若任意*,()mnNmn，都有()mnaatmn（t为常数）成立，则称数列{}na满足t级收敛，若数列{}na的通项公式为2lognan，且满足t级收敛，则t的最大值为（）A．6B．3C．2D．0【答案】D第8页共17页【解析】根据题干中对收敛数列的定义得到2{log}ntn是递增数列或常数列，相邻两项相减得到121log0nnnbbtn，进而得到结果.【详解】由题意：mnaatmn对任意的*,()mnNmn恒成立，2lognan，且t级收敛，则22loglogmntmn恒成立，即22loglog0mtmntnmn恒成立，据此可知数列2{log}ntn是递增数列或常数列，令2lognbntn，根据数列是单调递增的得到12121log(1)1,log0nnnnbntnbbtn据此可得：221loglog10ntn恒成立，故0t，t的最大值为0.故选D.【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1nnaa差值的正负确定数列na的单调性．二、填空题13．已知函数1()(21)mfxmx为幂函数，则(4)f__________．【答案】16【解析】根据幂函数的定义求出m的值，写出fx的解析式，即可计算f4的值．【详解】由题意，函数m1fx2m1x为幂函数，2m11，解得m1，2fxx，2f4416，故答案为：16．【点睛】本题考查了幂函数的定义，及幂函数的求值问题，其中解答中熟记幂函数的定义，用定义求得幂函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．已知函数()2sin3fxx，则(1)(2)(2019)fff__________．【答案】23第9页共17页【解析】根据函数表达式得到函数的周期，得到(1)(2)...(6)0fff，进而得到结果.【详解】依题意可得()2sin3fxx，其最小正周期6T，且(1)(2)...(6)0fff，故(1)(2)...(2019)(1)(2)(3)23ffffff.故答案为：23.【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.15．设非零向量a，b的夹角为，记(,)cossinfabab，若1e，2e均为单位向量，且1232ee，则向量12(,)fee与21(,)fee的夹角为__________．【答案】2【解析】根据题意得到1212(,)cossinfeeee，21(,)fee12sincosee，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.【详解】由题设知，若向量1e，2e的夹角为