平面向量概念

平面向量的概念及运算【学习目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识要点】1．向量的有关概念(1)向量：___________________________叫向量，一般用a，b，c，…来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB→.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB→|.(2)零向量：_____________________的向量，记作0，其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行．(3)单位向量：________________单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且_______________的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b；长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．(5)平行向量：方向____________________的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上．既有大小又有方向的量长度为零长度等于1个方向相同相同或相反3.向量的数乘运算(1)数乘向量的定义实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|；当λ0时，λa与a的方向__________；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩短．相同(3)数乘向量的运算律设λ，μ为实数，则(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.(4)共线向量(平行向量基本定理)若a＝λb，则a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使a＝λb.一、向量及其几何意义例1给出下列命题：①已知λ，μ∈R，则(λ＋μ)a与a共线；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→＝DC→；⑤已知A，B，C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若OA→＋OB→＋OC→＝0，则O是△ABC的重心；⑥O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心．其中正确命题是___________(填命题的序号)．①④⑤⑥【命题立意】本题主要考查向量运算的几何意义．2．(2014浙江)记max{x，y}＝x，x≥y，y，xy，min{x，y}＝y，x≥y，x，xy，设a，b为平面向量，则()A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知min|a＋b|，|a－b|与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，max{|a＋b|，|a－b|}与|a|，|b|所构成的三角形中，max{|a＋b|，|a－b|}所对的角大于或等于90°，故max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.D【解析】由AD→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|知AD是△ABC的角平分线，所以BDDC＝ABAC＝12，所以BD→＝13BC→＝13(AC→－AB→)＝－13a＋13b，故选C.3．已知△ABC，D是BC边上的一点，AD→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，|AB→|＝2，|AC→|＝4，若记AB→＝a，AC→＝b，则用a，b表示BD→所得的结果为()A.12a－12bB.13a－13bC．－13a＋13bD.12a＋13bC(4)平面上有四个互异点A，B，C，D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定B【解析】取AE的三等分点M，使|AM|＝13|AE|，连结DM.设|AM|＝t，则|ME|＝2t.又|AE|＝14|AC|，∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，7．在△ABC中，ADAB＝13，AEAC＝14，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.∴|DP|＝211|DC|.∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)＝13AB→＋211－13AB→＋AC→＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.