三个正数的算术—几何平均不等式

3三个正数的算术—几何平均不等式[学习目标]1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题．[知识链接]1．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？答案三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．2．设a，b，c为正数，如何证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．答案a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0⇔12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.由于a＋b＋c＞0且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，因而12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0成立．当且仅当a＝b＝c时，等号成立．[预习导引]1．三个正数算术——几何平均不等式当a、b、c∈R＋时，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，称a＋b＋c3为正数a，b，c的算术平均，3abc为正数a，b，c的几何平均．2．基本不等式的推广情形如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．要点一利用三个正数的基本不等式证明不等式例1设a、b、c∈R＋，求证：(1)1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥27；(2)(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.证明(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33abc＞0，从而(a＋b＋c)2≥93a2b2c2＞0，又1a2＋1b2＋1c2≥331a2b2c2＞0，∴1a2＋1b2＋1c2(a＋b＋c)2≥331a2b2c2·93a2b2c2＝27，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(2)∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a＞0，1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b·1b＋c·1a＋c＞0，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．规律方法认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．跟踪演练1已知a，b，c都是正数，求证：3a＋b＋c3－3abc≥2a＋b2－ab.证明∵3a＋b＋c3－3abc－2a＋b2－ab＝a＋b＋c－a－b－33abc＋2ab＝c－33abc＋2ab＝ab＋ab＋c－33abc≥33abc－33abc＝0，∴原不等式成立．要点二利用三个正数的基本不等式求最值例2已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x、y的值．解∵x，y∈R＋且x2y＝4，∴x＋y＝12x＋12x＋y≥3314x2y＝3314×4＝3，当且仅当x2＝x2＝y时等号成立．又∵x2y＝4.∴当x＝2，y＝1时，x＋y取最小值3.规律方法利用注意三个正数的基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”，在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在．跟踪演练2求y＝sinxcos2x，x∈0，π2的最大值．解∵x∈0，π2，∴sinx＞0，y＞0.y2＝sin2xcos4x＝2sin2xcos2xcos2x2≤122sin2x＋cos2x＋cos2x33＝12233＝854＝427.故y≤427＝239，此时，2sin2x＝cos2x，tan2x＝12，y有最大值239.要点三三个正数的基本不等式的实际应用例3已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得H－hH＝rR，∴r＝RH(H－h)．∴V圆柱＝πr2h＝πR2H2(H－h)2h(0＜h＜H)．根据三个正数的基本不等式可得V圆柱＝4πR2H2·H－h2·H－h2·h≤4πR2H2H33＝427πR2H.当且仅当H－h2＝h，即h＝13H时，V圆柱最大＝427πR2H.规律方法利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤①理解题意，设变量．设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④验证相等条件，得出结论．跟踪演练3设长方体的体积为1000cm3，则它的表面积的最小值为________cm2.答案600解析设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则abc＝1000，且a＞0，b＞0，c＞0.∴它的表面积S＝2(ab＋bc＋ca)≥2×33abc2＝600.当且仅当a＝b＝c＝10(cm)时取“＝”号．∴它的表面积S的最小值为600cm2.1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是()A．y＝x2＋2x＋4x3≥33x2·2x·4x3＝6，∴ymin＝6B．y＝2＋x＋1x≥332·x·1x＝3·32，∴ymin＝332C．y＝2＋x＋1x≥4，∴ymin＝4D．y＝x(1－x)·(1－2x)≤133x＋1－x＋1－2x33＝881，∴ymax＝881答案C2．函数y＝x2·(1－5x)0≤x≤15的最大值为()A.4675B.2657C.4645D.2675答案A解析y＝x2·(1－5x)＝425·52x·52x·(1－5x)≤42552x＋52x＋1－5x33＝4675，当且仅当52x＝1－5x，即x＝215时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，则ab＋bc＋ca有()A．最小值3B．最大值3C．最小值2D．最大值2答案A解析ab＋bc＋ca≥33ab·bc·ca＝3，当a＝b＝c时取等号．4．函数y＝x＋12x2(x＞0)的最小值为________．答案32解析y＝x＋12x2＝x2＋x2＋12x2≥33x2·x2·12x2＝32.当且仅当x2＝12x2，即x＝1时等号成立．(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立．(2)求形如y＝ax2＋bx(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆bx为bx＝b2x＋b2x，则y＝ax2＋bx＝ax2＋b2x＋b2x≥33ax2·b2x·b2x＝3232ab2.求形如y＝ax＋cbx2(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为ax2＋ax2，则y＝ax＋cbx2＝ax2＋ax2＋cbx2≥33ax2·ax2·cbx2＝3232a2cb.三个正数的算术—几何平均不等式1．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()A．y＝x2＋2x＋4x3≥33x2·2x·4x3＝6，∴ymin＝6.B．y＝2＋x＋1x≥332·x·1x＝332，∴ymin＝332.C．y＝2＋x＋1x≥4，∴ymin＝4.D．y＝x(1－x)(1－2x)≤133x＋1－x＋1－2x33＝881，∴ymax＝881.解析：选CA、B、D在使用不等式a＋b＋c≥33abc(a，b，c∈R＋)和abc≤a＋b＋c33(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x0，∴y＝2＋x＋1x＝2＋x＋1x≥2＋2＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立．2．已知a，b，c为正数，则ab＋bc＋ca有()A．最小值3B．最大值3C．最小值2D．最大值2解析：选Aab＋bc＋ca≥33ab×bc×ca＝3，当且仅当ab＝bc＝ca，即a＝b＝c时，等号成立．3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是()A.3322B.833C.332D.223解析：选A由logxy＝－2，得y＝1x2.而x＋y＝x＋1x2＝x2＋x2＋1x2≥33x2·x2·1x2＝3314＝3322，当且仅当x2＝1x2，即x＝32时，等号成立．4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式总成立的是()A．V≥πB．V≤πC．V≥18πD．V≤18π解析：选B设圆柱底面半径为r，则圆柱的高h＝6－4r2，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·6－4r2＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋3－2r33＝π.当且仅当r＝3－2r，即r＝1时，等号成立．5．若a2，b3，则a＋b＋1a－2b－3的最小值为________．解析：∵a2，b3，∴a－20，b－30，则a＋b＋1a－2b－3＝(a－2)＋(b－3)＋1a－2b－3＋5≥33a－2×b－3×1a－2b－3＋5＝8.当且仅当a－2＝b－3＝1a－2b－3，即a＝3，b＝4时，等号成立．答案：86．设0x1，则x(1－x)2的最大值为________.解析：∵0x1，∴1－x0.故x(1－x)2＝12×2x(1－x)(1－x)≤122x＋1－x＋1＋x33＝12×827＝427(当且仅当x＝13时，等号成立)．答案：4277．已知关于x的不等式2x＋1x－a2≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：2x＋1x－a2＝(x－a)＋(x－a)＋1x－a2＋2a.∵x－a0，∴2x＋1x－a2≥33x－ax－a1x－a2＋2a＝3＋2a，当且仅当x－a＝1x－a2即x＝a＋1时，等号成立．∴2x＋1x－a2的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.答案：28．设a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.证明：∵a，b，c∈R＋，∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a0.1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b·1b＋c·1a＋c0，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．9．已知正数a，b，c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)·(c＋2)的最小值．解：因为(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3·3a·3·3b·3·3c＝27·3abc＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值为27.10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式，得a2＋b2＋c2≥233abc，①1a＋1b＋1c≥133abc，所以1a＋1b＋1c2≥239abc.②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥233abc＋239abc.又233abc＋239abc≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当233abc＝239abc时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝143时，原式等号成立．法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式，得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋3ac≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a＝b＝c＝143，原式等号成立．