算术平方根

12.2《平方根》第一课时教学设计【总的说明】如何在课堂上引导学生发现问题并提出问题呢？一、改善师生关系，营造融洽的课堂氛围；二、精心备课，对课堂进行多种预设；三、给学生发现问题所需要的思考时间；四、对学生发现和提出的问题适当评价；爱因斯坦说，发现一个问题比解决一个问题更重要，发现问题、提出问题的意识是指人们在认识活动中，经常遇到一些难以解决的、疑惑的实际问题或理论问题，并产生的一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态.正是这种心理状态驱使着人们积极、主动地发现探索问题，不断提出问题和解决问题.问题意识是科学素养的逻辑起点，是形成提出问题能力的“前奏”和“萌芽”.为了培养学生的问题意识，本课中教师进行了多种设计尝试，通过设置情境、引导探究、讨论对比、反思提升等一系列途径及活动方式，围绕着算术平方根的定义，定义的形成过程等问题，展开研究探讨，在此过程中学生虽面临的困惑，但是发现问题、提出问题的意识却在其中悄悄生长.一、教学内容解析本节课题是北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第二章第二节《平方根》第一课时的内容.是在七年级学习了乘方运算的基础上安排的，是学习实数的准备知识.由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，从而完成了初中阶段数的扩展；运算方面，在乘方的基础上引入了开方运算，使代数运算得以完善.因此，本节课是有助于了解n次方根的概念，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作出了铺垫.教学重点：理解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．二、教学目标设置本节课是《平方根》的第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定如下的教学目标：1．能表述数的算术平方根的概念，领会其性质，会用符号（根号）表示一个数的算术平方根.2.在算术平方根概念的形成过程以及用之运算的过程中，体会知识的来源与发展以及它与平方运算的互逆关系，发展双向思维，并在概念的探索过程中，激发学习数学的兴趣．三、学生学情分析根据八年级学生的身心发展特点，我从学生已有的知识基础、学习现状等方面分析.1.学生的已有基础学生在七年级时已学过了乘方的运算，上节课又学习了无理数，这就是本节课的教学出发点，有助于2本节学习活动的进行.2.学习的现状此阶段的学生具有很强的好奇心、强烈的“自我”和自我发展的意识，因此对新鲜事物或新内容特别感兴趣，但缺乏学习的方法.学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．四、教学策略分析要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，不仅需要让学生经历概念形成的过程，而且还要加强识别、辨析的训练.算术平方根的概念是历经由具体到抽象、由特殊到一般的过程而形成的．加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有益的．因此，我认为概念教学要做到以下两点：（一）充分揭示概念的形成过程；（二）让学生积极参与到概念形成的过程中来，从而使学生抓住概念的本质特征.通过习题、例题的训练，使学生明确在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.通过这种互逆训练，培养学生逆向思维的能力.五、教学过程（一）创设情境，引入新知活动一：探究旧知探究1：老师手中有一正方形图片，若已知边长是3时，同学们说其面积是多少呢？生：32=9并在黑板上写出.探究2：以上算式属于我们学过的什么运算？在此算式中存在几个量？分别是什么？生：乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂.探究3：乘方运算是知道了哪些量求哪个量的运算？生：底数、指数求幂的运算.设计意图：此环节没有采用教材中的导入，而是，通过设置问题1、2、3导入的，我认为这种递进式的导入更简单、更直接，学生更容易接受。因为，以他们熟悉的问题情景引入新知.学生乐于去做，敢于发言.活动二：探究新知探究4：若正方形的面积是9时，同学们说其边长是多少呢？师：同学们我们比较这两种运算，有什么区别？生：第一种运算,是知道了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是知道了幂、指数求底数的运算.3师：很好，第二种运算就是今天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算.（板书1）§2.2算术平方根设计意图：让学生感受到，通过自己的探究，“玩”出了很多意想不到的收获，使数学课不再枯燥.注重了用数学的方法去研究问题，从数学的角度去思考问题，使数学课更具有数学味，同时，也揭示了本节课的教学重点.探究5：若正方形的面积是3时，同学们说其边长m又是多少呢？m师：通过上节课的学习我们知道它的范围是多少？它具体是多少，你知道吗？生：1.7＜m＜1.8，1.73＜m＜1.74，…；是无限不循环小数.师：同学们，这是我们在小学遇到过“π”的基础上，又一次遇到不能准确的去表示一个数，为了能精确的表示它，我们引进一个新的记号“”，读作“根号”.我们就用3来表示m，这就好比小学中我们学过的圆周率3.1415926…，它就是一个无限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号“π”来表示一样的道理.设计意图：是延续了在上节课反复探究“m2=3，正数m是多大？”这个问题基础上的拓展，更是让学生亲身体验了概念的形成过程,感受到概念引入的必要性，充分体现了学生的主体作用.同时，也揭示了本节课的教学重点.结论：像以上算式m2=3中，我们就把正数m叫做3的算术平方根.记作：“3”，即m=3探究6：请仿照上面表示“若m2=3，则m=3”的办法，试着分别表示出下列正数x.(1)x2=3(2)x2=5(3)x2=7(4)x2=a（a＞0）设计意图：算术平方根的概念是由具体到抽象、由特殊到一般而形成的．通过问题6的尝试，培养学生抽象概括的能力.（二）多方联动、探究新知师：现在我们一起来概括算术平方根的定义：（板书2）：一般的，一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“a”读作“根号a”.（板书3）：0的算术平方根是0，即0=0.探究1：用含根号的式子表示下列各数的算术平方根.(多媒体出示)(1)16(2)25(3)7(4)14（学生独立完成后交流，并不失时机地追问）师：通过此问题，你会有什么新的发现？34生：象16=4，25=5一样，这些正数可以写成有理数平方的形式，其算术平方根就可以用一个非负有理数表示，而有些正数写不成有理数平方的形式，其算术平方根只能用根号表示，如上面的7和14，它们的算术平方根只能分别写成7、14.设计意图：强化对算术平方根概念的认识，当细则细，为求出数的算术平方根搭建引桥，目的在于慢中求进，扎实有效.师：根据同学们的认识，我们一起来完成例题1.例题1:求下列各数的算术平方根：(多媒体出示)(1)1(2)900解：（2）（老师板演第2题的解题过程）∵302=900∴900的算术平方根是30即=30设计意图：规范学生解题的格式，让学生明确解题的思路.(3)106(4)6449解：(4)（老师板演第4题）∵∴的算术平方根是即(5)10设计意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，摸索利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如：10的算术平方根是10．同时，突出了本节课的教学重点.思考：通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？(多媒体出示)设计意图：让学生感知平方运算和求正数的算术平方根是互逆的关系．探究2：仿照“例题1”，请同学们自己编写两道类似的题目，供其他同学解答.设计意图：要把所学的新知识，融入到自己已有的知识结构中来，通过编题，增进学生对概念的理解，力求做到学以致用，举一反三.师：同学们，我们都能编题了，真了不得！看来下面的实际问题已不在话下.（出示例题2）例题2：自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？(多媒体出示)9002749()8644964784976485（多媒体演示解题过程）解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以t=4=2(秒)，即铁球到达地面需要2秒.设计意图：用算术平方根的知识解决实际问题，把数学与生活实施了链接，以增进学生对数学价值的体悟．探究3：7-有意义吗?为什么?(多媒体出示)分析：7-无意义,因为任何数的平方都是非负数,即a2≥0，故7-无意义.（板书4）：性质算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，这是算术平方根的一条很重要的性质.设计意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．师：现在，同学们对算术平方根的认识可以说已经较为全面，事实到底如何呢？小试牛刀，看看自己的身手吧！（三）自主运用、强化新知1.填空：(多媒体出示)(1)94的算术平方根是_________.(2)719的算术平方根为_________.(3)81的算术平方根为_________.设计意图：通过三个递进式的填空题，检测学生对算术平方根概念的把握情况，并通过（3）小题突出审题意识、优化学生的思维习惯.2.若一个正方形的边长为3时，当面积扩大原来的4倍后，其大正方形的边长b变为原来的多少倍？(多媒体出示)解：∵b2=4×32=36即：大正方形的边长是原来边长的2倍.设计说明：通过此题的训练，再一次培养学生用所学的数学知识来解决实际问题的能力。3．请同学们写出一些数的算术平方根，使它分别是整数、分数、无限不循环小数.(多媒体出示)设计意图：通过这样的开放式训练，使学生对算术平方根概念的认识和理解得到升华，让学生再一次品尝到成功的喜悦.在师生互动的过程中，将课堂推向了高潮，把难以理解的知识，像剥竹笋一样一层一层的剥开，使学生眼前豁然一亮.同时，也突破了本节课的教学难点.师：同学们说的都很好，看来我们通过今天的学习，有了很多的收获.（四）合作交流、归纳总结366b6同学们，通过本节课的共同学习，请你从知识、方法与情感等方面谈一谈自己的认识.师：这节课主要就平方根中的算术平方根进行讨论,求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的过程，因此，求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方运算.只不过，只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.设计意图：通过回顾、梳理、反思，使学生对所学知识得到充分的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系.老师重点从以下几个方面进行强调：1.算术平方根概念引入的重要性，尤其是让学生经历概念的形成过程以及里面所蕴含的数学思想；2.算术平方根概念应用的广泛性；3.倡导学生善于发现、勇于探索、敢于创新.（五）布置作业，自我巩固1.必做题：P40习题1、2、3.2.选做题：（1）一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？（2）一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对“公式”的进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有舒展的舞台.