数学物理方程-第四章练习题

.......二阶线性偏微分方程的分类与总结齐海涛山东大学（威海）数学与统计学院[e-mail]齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-31/39目录...1二阶线性方程的分类...2二阶线性方程的特征理论...3三类方程的比较...4先验估计齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-32/39...1二阶线性方程的分类...2二阶线性方程的特征理论...3三类方程的比较...4先验估计齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/39二阶线性方程的分类.Example1.1........证明:两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后,其类型不会改变,即变换后△=a212−a11a12的符号不变.证明:设自变量可逆变换为ξ=ξ(x,y),η=η(x,y).记J=(ξxξyηxηy),则detJ,0.由复合函数求导得以ξ,η为自变量的新方程系数为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/39二阶线性方程的分类.Example1.1........证明:两个自变量的二阶线性方程经过自变量的可逆变换后,其类型不会改变,即变换后△=a212−a11a12的符号不变.证明:设自变量可逆变换为ξ=ξ(x,y),η=η(x,y).记J=(ξxξyηxηy),则detJ,0.由复合函数求导得以ξ,η为自变量的新方程系数为齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-33/39二阶线性方程的分类a11=(ξxξy)(a11a12a12a22)(ξxξy),a12=(ξxξy)(a11a12a12a22)(ηxηy),a22=(ηxηy)(a11a12a12a22)(ηxηy),故(a11a12a12a22)=J(a11a12a12a22)JT,齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-34/39二阶线性方程的分类而判别式△=a11a12a12a22=△·(detJ)2.这就证明了△与△符号相同,即经自变量可逆变换后方程类型不改变.设未知函数可逆变换为u=f(v),f′(v),0,对以v为未知函数的新方程系数分别为a11=a11f′,a12=a12f′,a22=a22f′,故△=f′2·△,所以经未知函数可逆变换后方程类型不改变.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-35/39二阶线性方程的分类.Example1.2........判定下列方程的类型:...1x2uxx−y2uyy=0;...2uxx+(x+y)2uyy=0;...3uxx+xyuyy=0;...4sgnyuxx+2uxy+sgnxuyy=0;...5uxx−4uxy+2uxz+4uyy+uzz=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-36/39二阶线性方程的分类解:(1)当xy,0时,方程为双曲型;当xy=0时,方程为抛物型.(2)当x+y,0时,方程为椭圆型;当x+y=0时,方程为抛物型.(3)当xy0时,方程为椭圆型;当xy=0时,方程为抛物型;当xy0时,方程为双曲型.(4)当xy0时,方程为抛物型;当xy≤0时,方程为双曲型.(5)系数矩阵为不定型,且非退化,故方程为双曲型.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-37/39二阶线性方程的分类.Example1.3........化下列方程为标准形式:...1uxx+4uxy+5uyy+ux+2uy=0;...2x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0;...3uxx+yuyy=0;...4uxx−2cosxuxy−(3+sin2x)uyy−yuy=0;...5(1+x2)uxx+(1+y2)uyy+xux+yuy=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-38/39二阶线性方程的分类解:(1)令ξ=y−2x,η=x,则得uξξ+uηη+uη=0.(2)令ξ=y/x,η=y,则得η2uηη=0.(3)当y0时,方程为双曲型,令ξ=x+2√−y,η=x−2√−y,则得uξη+12(ξ−η)(uξ−uη)=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-39/39二阶线性方程的分类当y0时,方程为椭圆型,令ξ=2√y,η=x,则得uξξ+uηη−1ξuξ=0.(4)令ξ=y−2x+sinx,η=y+2x+sinx,则得uξη+ξ+η32(uξ+uη)=0.(5)令ξ=ln(y+√1+y2),η=ln(x+√1+x2),则得uξξ+uηη=0.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-310/39二阶线性方程的分类.Example1.4........证明:两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量及未知函数的可逆变换u=eλξ+µηv,将它化成vξξ±vηη+cv=f的形式.证明:由方程的化简可知,对二阶双曲型或椭圆型方程总可通过自变量可逆变换化为uξξ∓uηη=A1uξ+B1uη+C1u+D1(1.1)的形式.注意到原方程为常系数,特征根齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/39二阶线性方程的分类.Example1.4........证明:两个自变量的二阶常系数双曲型方程或椭圆型方程一定可以经过自变量及未知函数的可逆变换u=eλξ+µηv,将它化成vξξ±vηη+cv=f的形式.证明:由方程的化简可知,对二阶双曲型或椭圆型方程总可通过自变量可逆变换化为uξξ∓uηη=A1uξ+B1uη+C1u+D1(1.1)的形式.注意到原方程为常系数,特征根齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-311/39二阶线性方程的分类λ1,2=a12±√a212−a11a22a11(1.2)为常数.此时变换式为线性变换ξ=α1x+α2y,η=α3x+α4y,其中αi(i=1,2,3,4)均为常数.由此得(1.1)式中系数A1,B1,C1,D1均为常数.再引入未知函数变换u=eλξ+µηv,(1.3)将(1.3)式代入(1.1)式中,在双曲型时,只要取λ=A1/2,µ=B1/2,而在椭圆型时,取λ=A1/2,µ=−B1/2就可将方程化成vξξ±vηη+cv=f的简单形式.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-312/39...1二阶线性方程的分类...2二阶线性方程的特征理论...3三类方程的比较...4先验估计齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/39二阶线性方程的特征理论.Example2.1........求下列方程的特征方程和特征方向:(1)∂2u∂x21+∂2u∂x22=∂2u∂x23+∂2u∂x24解:特征方程:α21+α22=α23+α24.特征方向l满足:α21+α22=α23+α24,α21+α22+α23+α24=1.解得:l=(√22sinθ,√22cosθ,√22sinβ,√22cosβ),其中θ,β为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/39二阶线性方程的特征理论.Example2.1........求下列方程的特征方程和特征方向:(1)∂2u∂x21+∂2u∂x22=∂2u∂x23+∂2u∂x24解:特征方程:α21+α22=α23+α24.特征方向l满足:α21+α22=α23+α24,α21+α22+α23+α24=1.解得:l=(√22sinθ,√22cosθ,√22sinβ,√22cosβ),其中θ,β为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/39二阶线性方程的特征理论.Example2.1........求下列方程的特征方程和特征方向:(1)∂2u∂x21+∂2u∂x22=∂2u∂x23+∂2u∂x24解:特征方程:α21+α22=α23+α24.特征方向l满足:α21+α22=α23+α24,α21+α22+α23+α24=1.解得:l=(√22sinθ,√22cosθ,√22sinβ,√22cosβ),其中θ,β为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-313/39二阶线性方程的特征理论(2)∂2u∂t2=∂2u∂x21+∂2u∂x22+∂2u∂x23解:特征方程:α20=α21+α22+α23.特征方向l满足:α20=α21+α22+α23,α20+α21+α22+α23=1.解得:l=(±√22,√22sinθsinβ,√22sinθcosβ,√22cosθ),其中θ,β为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/39二阶线性方程的特征理论(2)∂2u∂t2=∂2u∂x21+∂2u∂x22+∂2u∂x23解:特征方程:α20=α21+α22+α23.特征方向l满足:α20=α21+α22+α23,α20+α21+α22+α23=1.解得:l=(±√22,√22sinθsinβ,√22sinθcosβ,√22cosθ),其中θ,β为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-314/39二阶线性方程的特征理论(3)∂u∂t=∂2u∂x2−∂2u∂y2解:特征方程:α21−α22=0.特征方向l满足:α21−α22=0,α20+α21+α22=1.解得:l=(cosθ,√22sinθ,√22sinθ),其中θ为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/39二阶线性方程的特征理论(3)∂u∂t=∂2u∂x2−∂2u∂y2解:特征方程:α21−α22=0.特征方向l满足:α21−α22=0,α20+α21+α22=1.解得:l=(cosθ,√22sinθ,√22sinθ),其中θ为任意参数.齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-315/39二阶线性方程的特征理论.Example2.2........证明:经过可逆的坐标变换xi=fi(y1,···,yn)(i=1,···,n),原方程的特征曲面变为经变换后的新方程的特征曲面,即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变性.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/39二阶线性方程的特征理论.Example2.2........证明:经过可逆的坐标变换xi=fi(y1,···,yn)(i=1,···,n),原方程的特征曲面变为经变换后的新方程的特征曲面,即特征曲面关于可逆坐标变换具有不变性.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-316/39二阶线性方程的特征理论齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-317/39二阶线性方程的特征理论.Example2.3........试证二阶线性偏微分方程解的m阶弱间断(即直至m−1阶的偏导数为连续,而m阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/39二阶线性方程的特征理论.Example2.3........试证二阶线性偏微分方程解的m阶弱间断(即直至m−1阶的偏导数为连续,而m阶偏导数为第一类间断)也只可能沿着特征发生.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-318/39二阶线性方程的特征理论齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-319/39二阶线性方程的特征理论.Example2.4........试定义n阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320/39二阶线性方程的特征理论.Example2.4........试定义n阶线性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面.解:齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-320/39二阶线性方程的特征理论齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-321/39...1二阶线性方程的分类...2二阶线性方程的特征理论...3三类方程的比较...4先验估计齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322/39三类方程的比较.Example3.1........试回顾以前学过的求解偏微分方程定解问题的各种方法,并指出叠加原理在哪里被用到.解:略齐海涛(SDU)数学物理方程2012-10-322/39三类方程的比较.Example3.1...