气体分子动理论

1气体分子运动论计算题1.一超声波源发射超声波的功率为10W．假设它工作10s，并且全部波动能量都被1mol氧气吸收而用于增加其内能，则氧气的温度升高了多少？(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R＝8.31J·mol1·K1)解：A=Pt=TiRv21，∴T=2Pt/(viR)＝4.81K．2.储有1mol氧气，容积为1m3的容器以v＝10m·s-1的速度运动．设容器突然停止，其中氧气的80％的机械运动动能转化为气体分子热运动动能，问气体的温度及压强各升高了多少？(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R＝8.31J·mol1·K1)解：0.8×221vM＝(M/Mmol)TR25，∴T＝0.8Mmolv2/(5R)=0.062K又p=RT/V(一摩尔氧气)∴p=0.51Pa．3.质量m＝6.2×1017g的微粒悬浮在27℃的液体中，观察到悬浮粒子的方均根速率为1.4cm·s1．假设粒子速率服从麦克斯韦速率分布，求阿伏伽德罗常数．(普适气体常量R＝8.31J·mol1·K1)解：据mNRTMRTA/3/3mol2/12v，得NA=3RT/(m2v)＝6.15×1023mol-1．4.许多星球的温度达到108K．在这温度下原子已经不存在了，而氢核(质子)是存在的．若把氢核视为理想气体，求：(1)氢核的方均根速率是多少？(2)氢核的平均平动动能是多少电子伏特？（普适气体常量R＝8.31J·mol1·K1，1eV＝1.6×1019J，玻尔兹曼常量k＝1.38×1023J·K1)解：(1)由mol2/12/3MRTv而氢核Mmol＝1×103kg·mol1∴2/12v＝1.58×106m·s1．(2)kTw23＝1.29×104eV．25.假设地球大气层由同种分子构成，且充满整个空间，并设各处温度T相等．试根据玻尔兹曼分布律计算大气层中分子的平均重力势能P．(已知积分公式01/!denaxnanxx)解：取z轴竖直向上，地面处z＝0，根据玻尔兹曼分布律，在重力场中坐标在x~x＋dx，y~y＋dy，z~z＋dz区间内具有各种速度的分子数为dN＝n0exp[mgz/(kT)]dxdydzn0为地面处分子数密度，则分子重力势能的平均值为00ddNNmgzεPxyzkTmgz/nxyzmgzkTmgz/nddd)](exp[ddd)](exp[0000zkTmgz/zzkTmgz/mgd)](exp[d)](exp[00)()]([2mgkT/mgkT/mg=kT6.一显像管内的空气压强约为1.0×105mmHg，设空气分子的有效直径d=3.0×1010m，试求27℃时显像管中单位体积的空气分子的数目、平均自由程和平均碰撞频率．（空气的摩尔质量28.9×103kg/mol,玻尔兹曼常量k=1.38×1023J·K1760mmHg=1.013×105Pa）解：(1)kTpn3.22×1017m3(2)pdkT2π27.8m(3)18molMRTZv60s1.研讨题1.比较在推导理想气体压强公式、内能公式、平均碰撞频率公式时所使用的理想气体分子模型有何不同？参考解答：推导压强公式时，用的是理想气体分子模型，将理想气体分子看作弹性自由质点；在推导内能公式时，计算每个分子所具有的平均能量，考虑了分子的自由度，除了单原子分子仍3看作质点外，其他分子都看成了质点的组合；推导平均碰撞频率公式时，将气体分子看成有一定大小、有效直径为d的弹性小球。2.速率分布分布函数假设气体分子速率分布在0～∞范围内,也就是说存在大于光速c的分子。然而，由爱因斯坦的狭义相对论知，任何物体的速度均不会超过光速，这岂不是矛盾?气体中有速率为无穷大的分子吗?参考解答：(1)分布函数归一化条件:01d)(vvf(2)平均速率:0d)(vvvvf在以上积分计算中,均假定气体分子速率分布在0→∞范围内,也就是说有速率为无穷大的分子存在,而这与爱因斯坦的狭义相对论任何物体的速率均不可超过光速矛盾.历年来,学生学到这部分内容,总对上面积分中积分限的正确性提出质疑.那么,气体中是否存在速率为无穷大的分子呢?从麦克斯韦速率分布函数f(v)的物理意义及其数学表示式上可方便快捷地得到正确的结论.分析如下.从物理意义上讲,f(v)代表速率v附近单位速率区间内的分子数所占的比率,要分析是否有速率为无穷大的分子存在,只需计算速率v取∞时的f(v)即可,有024)(2/23limlim2vvvvv2kTmekTmf上式说明,速率在无穷大附近的分子数占总分子数的比率为0,即不存在速率无穷大的分子。既然不存在速率为无穷大的分子,那么正确的积分应选为0到最大速率vmax区间.为什么选0→∞范围、能否得知一个热力学系统分子运动的最大速率呢?由微观粒子的波粒二象性及不确定关系可知：分子最大速率的准确值实际上是不可知的。而从数学上讲,对某个区间的积分运算可以分段进行,或者说加上一个被积函数为0的任意区间的积分,并不影响原积分结果。3.试用气体的分子热运动说明为什么大气中氢的含量极少？参考解答：气体的算术平均速率公式：RT.πRT6018v，在空气中有O2，N2，Ar，H2，CO2等分子，其中以H2的摩尔质量最小．从上式可知，在同一温度下H2的v的较大，而在大气中分子速度大于第二宇宙速度11.2公里/秒时，分子就有可能摆脱地球的引力作用离开大气层．H2摩尔质量最小，其速度达到11.2公里/秒的分子数就比O2、Ar、CO2达到这一速度的分子数多。H2逃逸地球引力作用的几率最大，离开大气层的氢气最多．所以H2在大气中的含量最少．4.测定气体分子速率分布实验为什么要求在高度真空的容器内进行？假若真空度较差，问容器内允许的气体压强受到什么限制？4参考解答：如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。假若真空度较差，只要分子的平均自由程大于容器的线度L，即L，那么可以认为分子在前进过程中基本不受杂质粒子的影响。由于平均自由程与压强的关系为:PdkT22,所以要求LPdkT22,即LdkTP22.这就是对于容器内压强的限制条件。