2019届苏教版(理科数学)--基本不等式--单元测试

1．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为x＜0，所以f(x)＝－（－x）＋1（－x）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．答案：－42．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是________(填序号)．①a2＋b22ab；②a＋b≥2ab；③1a＋1b2ab；④ba＋ab≥2.解析：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以①错误．对于②、③，当a0，b0时，明显错误．对于④，因为ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2.答案：④3．已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.答案：364．(2018·江苏省高考名校联考(一))已知实数x，y满足xy＋6＝x＋9y，且y∈(1，＋∞)，则(x＋3)(y＋1)的最小值为________．解析：由条件知x＝9y－6y－1，则(x＋3)(y＋1)＝（12y－9）（y＋1）y－1＝12(y－1)＋6y－1＋27.又y∈(1，＋∞)，所以y－1∈(0，＋∞)，故(x＋3)(y＋1)＝12(y－1)＋6y－1＋27≥122＋27，当且仅当y＝1＋22时取等号．答案：27＋1225．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等号．答案：806．(2018·浙江省七校模拟)已知实数x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋1y的最小值是________．解析：由已知，得lg(2x·8y)＝lg2，所以2x·8y＝2，即2x·23y＝2，即x＋3y＝1，所以1x＋1y＝1x＋1y(x＋3y)＝4＋3yx＋xy≥4＋23，当且仅当x＝3y时，等号成立．答案：4＋237．不等式x2＋xab＋ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是________．解析：根据题意，由于不等式x2＋xab＋ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋xab＋bamin，因为ab＋ba≥2ab·ba＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x2，求解此一元二次不等式可知－2x1，所以x的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)8．若x，y是正数，则x＋12y2＋y＋12x2的最小值为________．解析：由题意，得x＋12y2＋y＋12x2≥2x＋12yy＋12x＝2xy＋14xy＋1≥22xy·14xy＋1＝4，当且仅当x＋12y＝y＋12x，xy＝12，即x＝y＝22时，“＝”成立．答案：49．已知A、B、C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝ca＋b＋bc的最小值是________．解析：y要最小，则a要最大，而a的最大值是b＋c，所以y＝ca＋b＋bc≥c2b＋c＋bc＝12bc＋12＋bc＋12－12≥2－12，当且仅当12bc＋12＝bc＋12时取等号，即y的最小值是2－12.答案：2－1210．(2018·苏锡常镇四市高三调研)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，则a24－2a＋b2－1b的最小值为________．解析：由a＞0，b＞0，ab－a－2b＝0得b＝aa－2，a＞2，则a24－2a＋b2－1b＝a24－2a＋a2（a－2）2－a－2a＝a24＋a2（a－2）2－1，令a－2＝t，t＞0，则a24＋a2（a－2）2－1＝（t＋2）24＋（t＋2）2t2－1＝t24＋4t2＋t＋4t＋1≥2t24·4t2＋2t·4t＋1＝7，当且仅当t＝2时取等号，故a24－2a＋b2－1b的最小值是7.答案：711．已知x0，y0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x0，y0，则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，则x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2xy＋8yx≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.12．某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝kn＋1(k0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？解：(1)因为g(n)＝kn＋1，由已知得g(0)＝8，所以k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)10－8n＋1－100n(n∈Z且n≥0)．(2)f(n)＝(100＋10n)10－8n＋1－100n＝1000－80n＋10n＋1＝1000－80n＋1＋9n＋1≤1000－80×29＝520，当且仅当n＋1＝9n＋1，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的年利润最高，且最高为520万元．1．设a0，b0，且不等式1a＋1b＋ka＋b≥0恒成立，则实数k的最小值为________．解析：由1a＋1b＋ka＋b≥0得k≥－（a＋b）2ab，而（a＋b）2ab＝ba＋ab＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－（a＋b）2ab≤－4，因此要使k≥－（a＋b）2ab恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4.答案：－42．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．解析：由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－1y－12＋1≤1.答案：13．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．解析：设x为仓库与车站的距离，由已知y1＝20x，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋20x≥20.8x·20x＝8，当且仅当0.8x＝20x，即x＝5时“＝”成立．答案：54．(2018·扬州调研)设OA→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b，0)(a0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则2a＋1b的最小值是________．解析：因为AB→＝OB→－OA→＝(a－1，1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1，2)，若A，B，C三点共线，则有AB→∥AC→，所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1，又a0，b0，所以2a＋1b＝2a＋1b·(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，2a＋b＝1，即a＝b＝13时等号成立．答案：95．(2018·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)．(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．解：(1)由题设，得S＝(x－8)900x－2＝－2x－7200x＋916，x∈(8，450)．(2)因为8x450，所以2x＋7200x≥22x×7200x＝240，当且仅当x＝60时等号成立．从而S≤676.所以当矩形温室的室内长为60m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m2.6．(2018·江苏省高考名校联考(三))为更好地进行天象观测和天文学研究，某研究所计划要建造一个天文台，其整体轮廓如图所示(长度单位：米)，其中下部为圆柱体，上部为半球体．(1)若天文台的高度为15米，且h＝4r，求天文台的体积；(2)若天文台的体积为704π3立方米，假设墙的厚度忽略不计，建造该天文台的费用仅和表面积有关．已知圆柱体部分每平方米的建造费用为3万元，半球体部分每平方米的建造费用为152万元，设该天文台的总建造费用为y万元．①求y关于r的函数表达式；②问：当r为何值时，天文台的总建造费用最少？解：(1)因为天文台的高度为15米，且h＝4r，所以4r＋r＝15，r＝3，h＝12，所以该天文台的体积V＝12×43πr3＋πr2h＝12×43×33×π＋π×32×12＝126π(立方米)．(2)①因为天文台的体积为704π3立方米，所以12×43πr3＋πr2h＝704π3，解得h＝704－2r33r2，r＜2344，所以y＝2πrh×3＋2πr2×152＝6πr×704－2r33r2＋15πr2＝π×1408＋11r3r(0＜r＜2344)．②由①得y＝π×1408＋11r3r＝π×704r＋704r＋11r2≥π×3704r×704r×11r2＝16π×311×11×11＝176π，当且仅当r＝4时等号成立．所以当r＝4时，天文台的总建造费用最少，且最少建造费用为176π万元．