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最短路径问题如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所以泵站建在点可使输气管线最短问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问这是一个实际问题，你打算首先做什么？将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．探索新知B··Al（）从地出发，到河边饮马，然后到地；（）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与，连接起来的两条线段的长度之和，就是从地到饮马地点，再回到地的路程之和；探索新知追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？追问对于问题，如何将点“移”到的另一侧′处，满足直线上的任意一点，都保持与′的长度相等？探索新知问题如图，点，在直线的同侧，点是直线上的一个动点，当点在的什么位置时，与的和最小？B·lA·追问你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点′吗？探索新知问题如图，点，在直线的同侧，点是直线上的一个动点，当点在的什么位置时，与的和最小？B·lA·作法：（）作点关于直线的对称点′；（）连接′，与直线相交于点．则点即为所求．探索新知问题如图，点，在直线的同侧，点是直线上的一个动点，当点在的什么位置时，与的和最小？B·lA·B′C证明：如图，在直线上任取一点′（与点不重合），连接′，′，′′．由轴对称的性质知，′，′′′．∴′′，′′′′′．探索新知问题你能用所学的知识证明最短吗？B·lA·B′CC′若直线上任意一点（与点不重合）与，两点的距离和都大于，就说明最小．探索新知B·lA·B′CC′追问证明最短时，为什么要在直线上任取一点′（与点不重合），证明＜′′？这里的“′”的作用是什么？探索新知追问回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′例：如图，直线表示一条铁路，两点表示铁路旁的两个村庄，现在要在铁路旁建一车站，使两个村到车站的距离之和最短，请确定的位置，并说明理由B·FA·E一条公路的一侧有两个村庄，现要在公路边修一个供电站向两地供电，当供电站修在何处时所拉的电线最短？AB′如图，是矩形的台球桌面，有两球分别位于、两点的位置，试问怎样撞击球，才能使球先碰撞台边反弹后再击中球？EFGH试一试：解：．作点关于的对称点′．连结′交于点则沿撞击黑球，必沿反弹击中白球。•在锐角∠内有一定点,试在上各确定一点,使△的周长最小AOB•如图，为了做好国庆期间的交通安全工作，某警察执勤小队从出发，先到公路上设卡检查，在到公路上设卡检查，最后再到达地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？B·DA·CEF运用新知练习如图，一个旅游船从大桥的处前往山脚下的处接游客，然后将游客送往河岸上，再返回处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接，线段为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线，这样问题就转化为“点，在直线的同侧，如何在上找到一点，使与的和最小”．ABCPQ山河岸大桥如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地处。小明A路线：小明——————如图，为马厩，为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。•如果我们把台球桌做成等边三角形的形状，那么从AC中点D处发出的球，能否依次经BC、AB两条边反射回到D处？如果你认为不能，请说明理由；如果你认为能，请作出球运动的路线。ABCD个人收集整理，仅供交流学习！