高考数学：常见函数值域或最值的经典求法

【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1求函数164xy的值域.【解析】由函数164xy，则：21640,44,2xxx定义域为：2x得：0416,016416xx，值域为：0,4。【变式演练1】求函数xxf28)(的值域.【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤x28＜2．故函数xxf28)(的值域是)22,0[.方法二分离常数法解题模板：第一步观察函数()fx类型，型如()axbfxcxd；第二步对函数()fx变形成()aefxccxd形式；第三步求出函数eycxd在()fx定义域范围内的值域，进而求函数()fx的值域.例2求函数253)(xxxf的值域.【变式演练2】求函数5143xyx的值域.方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方成2()yaxbc；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3求函数246,0,5fxxxx的值域.【变式演练3】已知函数432xxy的定义域是],0[m，值域为]4,425[，则m的取值范围是（）A．]4,0(B．]4,23[C．]3,23[D．),23[【答案】C【解析】试题分析：因二次函数432xxy的对称轴为23x,且0x时,函数值4y,当23x时,425y,因此当3x时,4y.故当323m,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四反函数法解题模板：第一步求已知函数的反函数；[来源:Z*xx*k.Com]第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4设1fx为222xxfx，0,2x的反函数，则1yfxfx的最大值为．【答案】4【变式演练4】求函数34()56xfxx的值域.方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5求函数1xxy的值域.例6求函数12yxx的值域.【解析】令21120,2ttxx，原函数化为211022yttt，其开口向下，并且对称轴是1t，故当1t时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1].例7求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域.【变式演练5】若02,x求函数12()4325xxyfx的值域.方法六判别式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如22dxexfyaxbxc的函数；第二步将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域.例9求函数3274222xxxxy的值域.【变式演练6】求函数12xxy的值域.【解析】2201xyyxxyx，当0y时方程有解，当0y时由0可得2140y1122y，综上可知值域为]21,21[.方法七基本不等式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如2exfyaxbxc或2axbxcyexf的函数；第二步对函数进行配凑成byaxx形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例10已知52x，求函数245()24xxfxx的最小值.例11已知函数9()(03)1fxxxx，求()fx的值域.【解析】99()11,03,114,11fxxxxxxx5)(,31minxfx，9)(,11maxxfx，所以()fx的值域为[5,9].【变式演练7】求函数223()1xfxx的最小值.【变式演练8】若函数yfx的值域为1,32，则函数1Fxfxfx的值域是（）A．1,32B．102,3C．510,23D．52,2【答案】B【解析】考点：函数的性质；基本不等式.方法八单调性法解题模板：第一步求出函数的单调性；第二步利用函数的单调性求出函数的值域.例12求函数212()log(35)(02)fxxxx的值域.2212111222min11122235(02),2]()log(35),2]11()log(0)log5(2)log3411()log5log5,log].4uxxxufxxxffffx12max33在[0,]是减函数，在[上是增函数。22又t=log在定义域上是减函数33在在[0,]是增函数，在[上是减函数223f(x)2函数的值域为[【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例13求函数y2-+212xx的值域.【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题1xlogy,2y325x1都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】求函数1413()3yxxx的值域.【变式演练11】求函数2()52+412fxxxx的值域.【解析】由2625012402-52xxxxxx或，解得2x，在此定义域内函数是单调递减，所以当2x时，函数取得最小值，32f，所以函数的值域是,3.方法九数形结合法解题模板：第一步作出函数在定义域范围内的图像；第二步利用函数的图像求出函数的值域.例14如图，CBA,,三地有直道相通，5AB千米，3AC千米，4BC千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为)(tf（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设1tt时乙到达C地.（1）求1t与)(1tf的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求)(tf的表达式，并判断)(tf在]1,[1t上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）h83，8413千米；（2）超过了3千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.例15求函数xxycos2sin3的值域.【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于1212yyyxx对应着两点1122(,),(,)xyxy之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.例16求函数22()ln(11)fxxxxx的值域.【解析】由22110xxxx得0x,所以函数fx的定义域是0,，设点1313,0,,,,2222PxMN，u2211xxxx22221313002222xx1PMPNMN，所以0fx,所以答案填：,0.123456-1-2-3-1-212xyONPM【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率.例17某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元【变式演练12】定义运算：,,aababbab．例如121，则函数sincosfxxx的值域为（）A．22,22B．1,1C．2,12D．21,2【答案】D【解析】试题分析：在平面直角坐标系中画出函数xxxfcossin)(xxxxcossin,cossin,的图象,结合图象可以看出其值域为21,2,故应选D.221-1Oyx考点：正弦函数和余弦函数的图象和性质．方法十导数法解题模板：第一步利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；第二步利用函数的图像求出函数的值域.例18函数3)(xxf，]2,0[x，则)(xf的值域.【解析】()fx在[0,2]上是增函数，308x，0()8fx,故)(xf的值域]8,0[.【变式演练13】求函数1sincos2xfxexx在区间0,2上的值域.【高考再现】1.【2014，安徽理9】若函数()12fxxxa的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8B．1或5C．1或4D．4或8【答案】D．【解析】考点：函数的最值．【名师点睛】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用绝对值的几何意义解题会加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.2.【2014上海,理18】,0,1,0,)()(2xaxxxaxxf若)0(f是)(xf的最小值，则a的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)[0,2]【答案】D【解析】由于当0x时，1()fxxax在1x时取得最小值2a，由题意当0x时，2()()fxxa应该是递减的，则0a，此时最小值为2(0)fa，因此22aa，解得02a，选D．【考点】分段函数的单调性与最值问题．【名师点睛】(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3【2014高考重庆理第12题】函数22()loglog(2)fxxx的最小值为_________.【答案】14考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.【名师点睛】本题考查了对数运算，二次函数，换元法，配方法求最值，本题属于基础题，注意函数的定义域.4.【2014福建,理13】要制作一个容器为43m，高为m1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】88[来源:Zxxk.Com]【解析】试题分析：假设底面长方形的长宽分别为x,4x.则该容器的最低总造价是808020160yxx.当且仅当2x的时区到最小值.考点：函数的最值.【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须