四川大学物理学院理论力学第五章课件-2

第五章分析力学§5.1约束与广义坐标一约束的概念和分类、约束的概念和分类1、约束与约束方程•约束：限制物体运动的条件•约束方程约束条件的数学表达式•约束方程：约束条件的数学表达式xxtxAsinAxAxMlxMlxlyyMy张纪平制作1222lyx222lyx222)sin(lytx2、约束的分类txAsinAxAxR纯滚动MyoRxMlxMl刚性杆222lyx222lyx222)sin(lytxMysRsRsyyyy•不可解约束：约束方程为等式的约束可解约束约束方程为不等式的约束()0f•可解约束：约束方程为不等式的约束•稳定约束：约束方程中不显含时间t的约束(,,)0fxyz•不稳定约束：约束方程中显含时间t的约束•几何约束(完整约束)：约束方程中不含速度项的约束•几何约束(完整约束)：约束方程中不含速度项的约束•运动约束(微分约束)：0);,,;,,(tzyxzyxf积张纪平制作2可积几何约束竖直圆盘在无滑动的平面上的滚动的平面xy上的滚动asinxsinacosycosadsind0xadcosd0yadcosdsin0xy不可积的微分约束不可积的运动约束不可积的微分约束张纪平制作33不完整约束完整系完整约束不可积的运动约束可解约束3、约束对运动的影响牛顿力学牛顿力学将约束看作是有未知力作用在质点上，使其运动受限制。约束都可以用未知力代替。约束都可以用未知力代替改变运动的原因都归结为力。分析力学分析力学将约束看作是强制性的。先找到约束允许的可能运动，再按照一定的规则从所有可能的运动中得到真实的运动。约束与力都是改变运动的原因。张纪平制作4二、广义坐标1、自由度独立坐标的个数独立坐标的个数n个质点的系统k个几何约束0);,,,,,,(111tzyxzyxfk,,2,10);,,,,,,(111tzyxzyxfnnn,,,3snk2、广义坐标惟一能确定力学体系位置的独立变量sqqq,,,21惟能确定力学体系位置的独变量12(,,,,)iisrrqqqtnsni3;,,2,1sqqq,,,21222lyxx1s广义坐标张纪平制作5lyxyMl例题长为l的细杆AB的一端被约束在水平桌面上,确定其自由度确定其自由度.解：细杆的位置由杆的两端的坐标(xA,yA,zA)和(xB,yB,zB)确定,因存在着2个约束方程:杆的自由度为624s如果选择为广义坐标如果选择为广义坐标,,,AAxyBAAAxzyx,,,??不可以BAAAy,,,??不可以BBAAyxyx,,,??可以张纪平制作6,,,AAyx??昀佳,,,AABBxyzx??不可以§5.2虚功原理实位移与虚位移一、实位移与虚位移1.实位移质系实际发生的位移同时满足动力学方程初始质系实际发生的位移。同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。k2112(,,,)0infrrrtdddNiifff0);,,,,,,(111tzyxzyxfnnnk,,2,112(,,,)inf11(d,d,d)0innfrrrrttddd0iiijjjfffrtrtdr对稳定约束drdd0Niijjffrr张纪平制作7jjr真实位移必须满足运动微分方程（牛顿定律）2、虚位移在给定瞬时瞬时质系为约束所允许的约束所允许的可能发生在给定瞬时瞬时，质系为约束所允许的约束所允许的、可能发生的无限小位移。用r表示。0Niijffrr12(,,,)0infrrrtjjr11(,,)0innfrrrrt0Niiiijjjjffffxyzxyz虚位移的发生不需要时间！jjjjxyz不需要时间！rrr虚位移有无穷多个！张纪平制作8r稳定约束情况d0Nijjjfrr实位移0Nijjjfrr虚位移在稳定约束情况下，实位移是无数虚位移之中的一个。jjjj真实位移2δr1δr虚位移rd2δr2δr1不稳定约束情况0Nijjjfrr虚位移实位移dd0Niijjjffrtrt张纪平制作9在不稳定约束情况下，实位移不一定是无数虚位移中的一个。实例分析实位移约束方程ztdt0fzutMdr0fzut实位移tyrr虚位移Mudd0zutOxy虚位移0z质系虚位移的发生与时间t的变化无关(t0)，质系虚位移的发生与时间t的变化无关(t0)，因此它就是约束被“冻结”后，质系在此瞬时为约束所允许的任意无限小位移张纪平制作10束所允许的任意无限小位移。rdr真实位移不仅与约束有关，还与运动、受力有关张纪平制作11讨论：–虚位移只满足约束方程，实位移除满足约束方程外还满足动力学方程外，还满足动力学方程。–非自由质点的虚位移垂直于约束曲面在该点的法线即虚位移总是位于约束曲面的切平面线，即虚位移总是位于约束曲面的切平面。虚位移的方向虚位移的方向(,,)0fxyz约束方程r虚位移()0f在M点xiyjzk(,,)0fxxyyzz在M1点(,,)fxxyyzzf(,,)ffffxyzxyzxyzM1rMf0y0fr张纪平制作121Mf=00fr等时变分dd0Niiffdd0iijjjffrtrt0Nifr12(,,,)0infrrrt0jjjrr等时变分运算与微分运算类似但t=0等时变分运算与微分运算类似，但t=0。将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。2220xylx0xylxl刚性杆等时变分张纪平制作13yA220xxyy二、理想约束F1.虚功MFrrFW或rFWcos主动力约束力FRR2理想约束主动力约束力iFiRrR2.理想约束P0niiRr理想约束的例子：光滑面、光滑曲线、光滑1i理想约束的例子光滑面光滑曲线光滑铰链、刚性杆、不可伸长的绳、纯滚动。张纪平制作14理想约束0niiRr10iiiRrN(1)光滑的线、面NrirNirir0dirN线、面静止，irN0irN0dirN线、面静止，0dirN线、面运动，(2)圆柱(刚体)在粗糙面上做无滑滚动Nf0Pv0Pr张纪平制作15NP0PPrfrN(3)光滑铰链(门上的合页)1N2211rNrN121rN相对虚位移2N0(4)质量可忽略的刚性轻杆所连接的两个质点F21RRFF1212r1RF2RF21RR2211rFrFWRRO1r2r121rFR12121erFR0张纪平制作16O0(5)两个质点以柔软不可伸长的轻绳相连2211rFrFWTTFF00rrF1m2m1TF2TF211rrFT0绳子不可伸长00张纪平制作17三、虚功原理1、虚功原理不可解约束（即双面约束）不可解约束（即双面约束）任一质点i平衡状态0FR),,2,1(ni任质点i平衡状态0iiFR),,2,1(ni0iiiiFrRr),,2,1(ni110nniiiiiiFrRr理想约束10niiiRr11ii1i0niiWFr平衡条件受理想约束的力系平衡的充要条件1iii平衡条件0)(nzFyFxFW充要条件适用条件：张纪平制作180)(1iiziiyiiixzFyFxFW惯性系、理想不可解约束二、广义平衡方程广义虚位移q12),,,,(21tqqqrrsii广义坐标：12,,,sqqqsirnir广义虚位移q1,2,,s1iqqnsrsnr1iiiWFr11()iiirFqq110iiirFqq1niiirQFq称为对应广义坐标的广义力Qq则110nsiiiWFrQq10sWQq120sQQQ完整理想约束的质点系平衡的充要条件是张纪平制作19完整理想约束的质点系，平衡的充要条件是：所有的广义力都等于零若作用在质点系上的主动力均为有势力，即VVViiiFVixiiVFxiyiiVFyiziiVFznnVnVVV1niiirQFq1niiVqn1()niiiiiiiiiiVxVyVzxqyqzq1niiVV体系总的势能对应于某一广义坐标的广义力，等于总势能对该广义坐标的偏导数冠以负号。VQq势能对广义标的偏导数冠以负号q0V(1,2,,)s保守系统的平衡条件0q(,,,)平衡条件0sVq0V静平衡的系统张纪平制作2010qq0V静平衡的系统的势能取极值解题步骤1.明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；2.正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；3.分析并图示系统受到的主动力；4.通过坐标变换方程,将虚功原理化成10sQq1的形式,进而得出广义平衡方程0Q(1,2,,)s对有势系,求出系统的势能V后,可通过0Vq5.求解广义平衡方程。得广义平衡方程；虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置；()系统的静平衡位置；(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.(3)求约束反力：解除约束，将约束力视为主动力,自由张纪平制作21(3)求约束反力：解除约束，将约束力视为主动力,自由度增加.例p276均质杆OA和AB用铰A连接，用铰O固定。两杆的长度为和重量为和在端作用水平力长度为和，重量为和。在B端作用一水平力，求平衡时两杆与水平方向夹角??1l2l1P2PFO解：解析法取为广义坐标2个自由度AF取、为广义坐标系统所受约束符合虚功原理的适用条件系统的主动力有和BFOy根据虚功原理,系统的主动力有1,P2PF和yC1l120CDBPrPrFr建立坐标系AxD2l1PF建立坐标系120CDBPxPxFy张纪平制作22BxD2P12CDBOyll120CDBPxPxFyyC1l112sinCxl12coscosByllAxD2l1PF21212sinsinDxllBxD2P12sinsinByll112cosCxl1212coscosDxll12cosCxl112112221122coscossincossin0PlPlFlPlFl1121112coscossin0QPlPlFl