一次函数模型的方案设计题

第1页一次函数模型的方案设计题在实际问题中常会运用函数知识建立函数模型,即先列出符合题意的函数关系式,然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及其图象求解.其中建立函数关系式是关键.下面所选的题目是建立一次函数模型,利用一次函数的性质解决实际问题中的最佳方案问题.例1.为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价的关系如下表:篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）10570（1）该商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个;（2）设商店所获利润为y（元）,购进篮球的个数为x（个）,请写出y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）;（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求最大利润是多少.解:（1）设购进篮球m个,则购进排球m60个,由题意可得:4200)60(5080mm解之得:40m∴204060（个）答:购进篮球40个,排球20个;（这里设为m,而不是设为x,是为了不与第（2）问起冲突）（2）xxy60507080105∴12005xy;（3）由题意可知:第2页14006020254300605080xxxx解之得:40≤x≤3143∵x为正整数（这是实际问题,必须说明x的属性）∴x40或41x或42x或43x∴共有四种进货方案,如下表:篮球（个）排球（个）方案一4020方案二4119方案三4218方案四4317由（2）,∵05k∴y随x的增大而增大∴当43x时,y取得最大值为14151200435y（元）答:最大利润为1415元.说明:这里借助于一次函数的性质快速获得了最大利润的条件和最大利润.例2.目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如何进货,进货款恰好为46000元?（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?解:（1）设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯x1200只,由题意可得:4600012004525xx解之得:400x第3页8004001200答:商场应购进甲型节能灯400只,乙型节能灯800只,进货款恰好为46000元;（2）设商场购进甲型节能灯m只,则购进乙型节能灯m1200只,商场获利为y元,则有:mmy120045602530整理得:1800010my∵商场销售完节能灯时获利不超过进货价的30%∴1800010m≤%3012004525mm解之得:m≥450∵1800010my,010k∴y随x的增大而减小∴当450m时,获利最多,为135001800045010y7504501200答:商场购进甲型节能灯450只,乙型节能灯750只时获利最多,且增大利润为13500元.例3.深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运赛场A,B两馆,其中运往A馆18台,运往B馆14台.运往A,B两馆的运费如下表:甲地乙地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台（1）设甲地运往A馆的设备有x台,请填写下表,并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式;甲地乙地A馆x台_________台B馆_________台_________台第4页（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案;（3）当x为多少时,总运费最少?最小值是多少?解:（1）如下表所示:甲地乙地A馆x台x18台B馆x17台3x台由题意可得:36001750018700800xxxxy整理得:19300200xy（3≤x≤17）（2）∵要使总运费不高于20200元∴19300200x≤20200解之得:x≤29∵3≤x≤17,且x为正整数∴3≤x≤29∴3x或4x∴该公司的调配方案共有2种,具体如下:方案一:甲地乙地A馆3台15台B馆14台0台方案二:甲地乙地A馆4台14台B馆13台1台（3）∵19300200xy,0200k∴y随x的增大而增大第5页∴当3x时,总运费最少,最小值为19900193003200y答:当3x时,总运费最少,最小值为19900元.例4.某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种土特产,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:土特产种类甲乙丙每辆汽车的运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x,装运乙种土特产的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式;（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;（3）若要使此次销售获利最大,应采用（2）中哪种安排方案?并求出最大利润.解:（1）由题意可得:12020568yxyx整理得:xy320;（2）∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆∴33202033203xxxx解之得:3≤x≤325∵x为正整数∴x可以取3,4,5∴车辆的安排方案有三种,如下表:甲乙丙方案一3辆11辆6辆方案二4辆8辆8辆方案三5辆5辆10辆第6页（3）设此次销售获利为W元,则有:19209210320205163206128xxxxxW∵092k∴W随x的增大而减小∴当3x时,16441920392最大值W（百元）=16.44（万元）∴要使此次销售获利最大,应采用（2）中点的方案一,获得的最大利润为16.44万元.总结做一件事情,有时有不同的实施方案.比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划是非常必要的.解决这类问题时,要先弄清题意,根据题意构建恰当的方程模型或不等式模型,求出所求未知数的取值范围,然后结合实际问题确定所有的可行方案.此类题考查应用数学知识解决实际问题的能力,是各地市中考的热点.习题.某商场筹集资金12.8万元,一次性购进空调、彩电共30台,根据市场的需要,这些空调、彩电可以全部销售,全部销售后利润不少于1.5万元,其中空调、彩电的进价和售价见下表:空调彩电进价（元/台）售价（元/台）设商场计划购进空调x台,空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元.（1）试写出y关于x的函数关系式;（2）商场有哪几种进货方案可供选择?（3）选择哪种进货方案,商场获利最大?最大利润是多少元?第7页